ГАММА-ФУНКЦИЯ,

Г-функция,- трансцендентная функция , распространяющая значения факториала на случай любого комплексного Г.-ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения

иа к-рого Л. Эйлер получил интегральное представление ( эйлеров интеграл второго рода)

верное для . Многозначность функции устраняется формулой с действительным In х. Обозначение Г(z) и назв. Г.-ф. были предложены А. М. Лежандром (А. М. Legendre, 1814).

Если и то Г.-ф. может быть представлена интегралом Коши- Зальшюца:

На всей плоскости z с выброшенными точками z=0, - 1, -2, ... для Г.-ф. справедливо интегральное представление Ганкеля:

где причем In sесть ветвь логарифма, для к-рой ; контур Сизображен на рис. 1. Из представления Ганкеля видно, что - мероморфная функция. В точках она имеет простые полюсы с вычетами !

Основные соотношения и свойства Г.-ф.

1) Функциональное уравнение Эйлера:

или

если - целое, при этом считают .

2) Формула дополнения Эйлера:

В частности,

если n>0- целое, то

у - действительное.

3) Фор мула умножения Гаусса:

При m=2 это есть формула удвоения Лежандра.

4) При или имеет место асим-птотич. разложение вряд Стирлинга:

где - Бернулли числа. Из чего следует равенство

В частности

Более точной является формула Сонина [6]:

5) В действительной области для и принимает знак на участках (см. рис. 2). Для всех действительных хсправедливо неравенство т. е. все ветви как , так и - выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения с точностью до постоянного множителя.

Для положительных хГ.-ф. имеет единственный минимум при х=1,4616321 ..., равный 0,885603... . Локальные минимумы функции при образуют последовательность, стремящуюся к нулю.

6) В комплексной области, при , Г.-ф. быстро убывает при

7) Функция 1/Г (z) (см. рис. 3) является целой функцией 1-го порядка максимального типа, причем асимптотически при

где

Она представима бесконечным произведением Вейерштрасса:

абсолютно и равномерно сходящимся на любом компактном множестве комплексной плоскости (здесь С -Эйлера постоянная). Справедливо интегральное представление Ганкеля:

где контур изображен на рис. 4.

Интегральные представления для степеней Г.-ф. были получены Г. Ф. Вороным [7].

В приложениях большую роль играют так наз. полигамма-функции, являющиеся k-ми производными от . Функция ( -функция Гаусса)

мероморфна, имеет простые полюсы в точках z= 0, - 1, -2, ... и удовлетворяет функциональному уравнению

Из представления при следует формула

где

эта формула полезна для вычисления в окрестности точки z=1.

О других полигамма-функциях см. [2]. Неполная гамма-функция определяется равенством

Функции суть трансцендентные функции, не удовлетворяющие никакому линейному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами (теорема Гёльдера).

Исключительная роль Г.-ф. в математич. анализе определяется тем, что при помощи Г.-ф. выражается большое количество определенных интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов (см., напр., Бета-функция). Кроме того, Г.-ф. находит широкие применения в теории специальных функций ( гипергеометрической функции, для которой Г.-ф. является предельным случаем, цилиндрических функций и др.), в аналитич. теории чисел и т. д.

Лит.:[1] Уиттекер Э. Т., Ватсон Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., т. 2, 2 изд., М., 1963; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; [3] Бурбаки Н., Функции действительного переменного. Элементарная теория, пер. с франц., М., 1965; [4] Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби, (Справочная математическая библиотека), М., 1961; [5] Nielsen N., Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; [6] Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах, М., 1954;

[7] Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952, с. 53-62: [8] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. е нем., 2 изд., М., 1968; [9] Анго А., Математика для электро- и радиоинженеров, пер с франц., 2 изд., М., 1967. Л. <П. <Купцов