- ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТОЧКА
- 1) Г. т. поверхности- точка, в к-рой соприкасающийся параболоид является гиперболич. параболоидом. В Г. т. индикатриса кривизны представляет собой пару сопряженных гипербол. Е. <В. Шикин.
2).Г. т. динамической системы - такая точка
, принадлежащая области определения системы вида 
что
, а матрица А, равная значению 
в точке 
, имеет kсобственных значений с положительной: действительной частью и 
собственных значений с отрицательной действительной частью, 
В окрестности Г. т. существует 
-мерная инвариантная поверхность 
, образованная решениями системы (*), к-рые при 
асимптотически приближаются к точке 
, и k-мерная инвариантная поверхность 
, образованная решениями системы (*), к-рые асимптотически приближаются к точке 
при 
Поведение траекторий системы (*) в достаточно малой окрестности Г. т. характеризуется следующей теоремой [4]: существует гомеоморфизм нек-рой окрестности Г. т. в нек-рую окрестность точки 
, переводящий траектории системы (*) в траектории линейной системы 
Г. т. для диффеоморфизма, обладающего неподвижной точкой, определяется требованием отсутствия равных по модулю единице собственных значений у линейной части диффеоморфизма в рассматриваемой неподвижной точке. Таким образом, Г. т. системы (*) остаются Г. т. диффеоморфизма, порождаемого сдвигом, вдоль траекторий системы (*).
Лит.:[1] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М.-Л., 1947; [2] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, М.-Л., 1950; [3] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [4] X артман Ф., Обыкновенные-дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970.
В. К. Мельников.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
