- ГИЛЬБЕРТА ГЕОМЕТРИЯ
- геометрия полного метрич. пространства Нс метрикой
; к-рое вместе с любыми двумя различными точками хи усодержит точки z и tтакие, что
и к-рое гомеоморфно выпуклому множеству n-мерного аффинного пространства
, причем геодезические
отображаются в прямые An. Напр., пусть К - выпуклое тело пространства
, граница к-рого
не содержит двух неколлинеарных отрезков, и пусть точки х,
. расположены на прямой l, пересекающей в точках
границу
- двойное отношение точек
(если
то
). Тогда
- метрика Г. г. (метрика Гильберта). Если K центрально симметрично, то
является метрикой Минковского (см. Минковского геометрия), если К - эллипсоид, то
определяет геометрию Лобачевского.
Проблема определения всех метризации К, при к-рых геодезическими являются прямые, составляет содержание 4-й проблемы Гильберта; решена полностью [4].
Обобщением Г. г. является так наз. геометрия геодезических (см. Геодезических геометрия).
Г. г. впервые была упомянута Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1894 в письме к Ф. Клейну (F. Klein).
Лит.:[1] Гильберт Д., Основания геометрии, М.-Л., пер. с нем., 1948; [2] Проблемы Гильберта, М., 1969; [3] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М,, 1962; [4] Погорелов А. В., Четвертая проблема Гильберта, М., 1974. М. И. Войцехоеский.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.