ГИЛЬБЕРТА СХЕМА

- конструкция в алгебраич. геометрии, позволяющая снабжать множество замкнутых подмногообразий проективного пространства с заданным Гильберта многочленом структурой алгебраич. многообразия. Более точно, пусть X - проективная схема над локально нётеровой схемой и - функтор, сопоставляющий каждой S-схеме S' множество замкнутых подсхем схемы плоских над . Функтор представим локально нётеровой схемой, к-рая наз. схемой Гильберта S-схемы Xи обозначается через (см. [4]). По определению представимых функторов в алгебраич. геометрии, для любой -схемы имеет место биекция . В частности, если S - спектр поля k,a - проективное пространство над k. то множество рациональных k-точек схемы находится во взаимно однозначном соответствии с множеством замкнутых подмногообразий в .

Для любого полинома с рациональными коэффициентами функтор содержит подфунк-тор , выделяющий в множестве подмножество подсхем таких, что для любой точки слой проекций на имеет в качестве своего многочлена Гильберта. Функтор представим схемой , проективной над S. Схема является прямой суммой схем по всем . Для любой связной базисной схемы Sсхема также связна [2].

Лит.:[1] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [2] Дьёдонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д., Геометрическая теория инвариантов, пер. с англ., М., 1974; [3] Grоthendieck A., "Seminaire Bourbaki", aim. 13, N. Y.-Amst., 1966, p. 1-28; [4] Hartshorne R., "Publ. math. IHES", 1966, t. 29, p. 261-304; [5] Итоги науки. Алгебра. Геометрия. Топология, т. 10, 1972, с. 47-113. И. В. Долгачев.