ГИЛЬБЕРТА СИСТЕМА АКСИОМ

евклидовой геометрии - система аксиом, предложенная в 1899 Д. Гильбертом (см. [1]). Со времени первой публикации Г. с. а. Д. Гильберт внес в систему аксиом различные изменения и уточнения.

Основными (неопределяемыми) понятиями в Г. с. а. являются объекты: точки, прямые и плоскости и отношения между ними, выражаемые словами: "принадлежит", "между", "конгруэнтен". Природа основных объектов и отношений между ними может быть какой угодно, лишь бы эти объекты и отношения удовлетворяли указанным аксиомам.

Г. с. а. содержит 20 аксиом, к-рые разбиты на пять групп.

I группа состоит из восьми аксиом принадлежности (соединения), к-рые описывают отношение "принадлежит". I₁. Для любых двух точек существует прямая, проходящая через каждую из этих двух точек. I₂. Для двух различных точек существует не более одной прямой, проходящей через каждую из этих двух точек. I₃. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. I₄. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует плоскость, проходящая через каждую из этих трех точек. На каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка. I₅. Для любых трех

точек, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через каждую из этих трех точек. I₆. Если две точки А, В прямой алежат в плоскости , то всякая точка прямой а лежит в плоскости . I₇. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку. I₈. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

II группа содержит четыре аксиомы порядка, описывающие отношение "между". II₁. Если точка Влежит между точкой Аи точкой С, то А, В, С- различные точки одной прямой и Влежит также между Си А.II₂. Для любых двух точек Аи Вна прямой АВ существует по крайней мере одна точка Стакая, что точка Влежит между Аи С. II₃. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. II₄ (аксиома Паша). Пусть А, В, С- три точки, не лежащие на одной прямой, и а - прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда, если прямая апроходит через внутреннюю точку отрезка АВ, то она проходит также через внутреннюю точку отрезка АС или через внутреннюю точку отрезка ВС.

III группа содержит пять аксиом конгруэнтности, к-рые описывают отношение "конгруэнтен" (это отношение Гильберт обозначает знаком ). III₁. Если даны отрезок А В илуч ОХ, то на луче ОX существует точка В' такая, что отрезок А В конгруэнтен отрезку ОВ', то есть . III₂. Если и , то . III₃,. Пусть АВ и ВС- два отрезка на прямой, не имеющие общих внутренних точек, а и - два отрезка на той же или на другой прямой, тоже не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если и , то III₄. Пусть даны угол АОВ, луч О'А' и полуплоскость П', ограниченная прямой О'А'. Тогда в полуплоскости П' существует один и только один луч О'В' такой, что . Кроме того, каждый угол конгруэнтен самому себе. III₅. Если для двух треугольников ABC и А'В'С' имеем: , , , то

IV группа состоит из. двух аксиом непрерывности. IV₁ (аксиома Архимеда). Пусть А В и CD - два каких-нибудь отрезка. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек таких, что точка лежит между и , точка лежит между и и т. д., причем отрезки , , конгруэнтны отрезку CD и Влежит между и (аксиома Кантора). Пусть на какой-либо прямой адана бесконечная последовательность отрезков удовлетворяющая двум условиям: а) каждый последующий отрезок есть часть предыдущего, б) для любого наперед заданного отрезка CD найдется натуральное число и такое, что Тогда на прямой асуществует точка М, принадлежащая каждому из отрезков этой последовательности.

V группа содержит одну аксиому о параллельных. Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой прямой аи точкой, существует не более одной прямой, проходящей через точку Аи не пересекающей прямую а.

(У Д. Гильберта IV группа - аксиома о параллельных, V группа - аксиомы непрерывности.)

Все остальные понятия евклидовой геометрии определяются с помощью основных понятий Г. с. а., а все предложения о свойствах геометрич. фигур, не содержащиеся в Г. с. а., должны быть доказаны чисто логич. выводом из этих аксиом (или предложений, полученных таким же путем).

Г. с. а. обладает свойством полноты; она непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел. Если в Г. с. а. заменить аксиому о

параллельных ее отрицанием, то полученная новая система аксиом тоже непротиворечива (система аксиом геометрии Лобачевского), т. е. аксиома о параллельных но зависит от остальных аксиом Г. с. а. Можно установить независимость нек-рых других аксиом Г. с. а. от остальных аксиом этой системы.

Г. с. а. является первым достаточно строгим обоснованием евклидовой геометрии.

Лит.:[1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.- Л., 1948; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971. В. Т. Базылев.