ДЕЗАРГОВА ГЕОМЕТРИЯ

геометрия дезаргова пространства, - геодезических геометрия, в к-рой роль геодезических играют обыкновенные прямые. Точнее, дезарговым пространством Rназ. С-пространство, допускающее такое топологич. отображение в проективное пространство Р ⁿ, что каждая геодезическая Rотображается в прямую Р ⁿ.

Для того чтобы Rбыло дезарговым пространством, необходимо и достаточно, чтобы:

1) геодезическая, проходящая через две различные точки, была единственна;

2) при dim R = 2 выполнялось Дезарга предложение, и обратное ему, если только существуют все пересечения, имеющиеся там;

3) при dim R>2 любые три точки Rлежали в одной плоскости.

При этом R, отображенное в Р ⁿ, либо покрывает все Р ⁿ, и в этом случае геодезические Rявляются окружностями одной и той же длины, либо Rне содержит ни одной точки нек-рой гиперплоскости и может рассматриваться как открытая выпуклая область аффинного пространства.

В римановом случае единственными Д. г. являются евклидова, гиперболич. и эллйптич. геометрии, т. <е. из дезаргова характера пространства следуют весьма сильные свойства подвижности (теорема Бельтрами). Это - пример поразительной теоремы римановой геометрии, не имеющей аналога в более общих пространствах. При достаточно сильных условиях дифференцируемости был дан метод построения Д. г., однако окончательное и общее решение этой, так наз. 4-й проблемы Гильберта о метризации проективного пространства или его выпуклых подобластей без какого-то ни было предположения регулярности, дал А. В. Погорелов [2]. Другой пример Д. г., ценный для изучения пространств неположительной кривизны, доставляет Гильберта геометрия.

Важным примером неримановых Д. г. является Минковского геометрия, к-рую можно рассматривать как прототип всех неримановых геометрий (в т. ч. финсле ровой геометрии).

Лит.:[1] Вуземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; [2] Погорелов А. В., Четвертая проблема Гильберта, М., 1974.

М. И. Войцеховский.