- ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ГЕОМЕТРИЯ
геометрия метрического пространства (G-пространства), к-рое характеризуется единственностью продолжения геодезических линий, определяемых как локально кратчайшие.
G-пространство определяется следующей системой аксиом:
1) Gесть метрич. пространство;
- расстояние в нем.
2) Gконечно компактно, т. е. в G ограниченные бесконечные множества имеют предельные точки.
3) Gвыпукло в смысле Менгера, т. е. для точек
есть отличная от них точка z такая, что 
4) Для каждой точки аесть такое
, что в шаре 
для точек 
найдется отличная от них точка 
с 
(аксиома локального продолжения).
5) Если в аксиоме 4) нашлось две точки
и 
и 
(аксиома единственности продолжения).
В класс G-пространств попадают, в частности, римановы пространства и финслеровы пространства.
G-пространства, в к-рых продолжение геодезической возможно в целом и любой участок геодезической остается кратчайшей, наз. прямыми пространствами. К ним относятся, напр., пространства Евклида, Лобачевского, Минковского, любое односвязное риманово пространство неположительной кривизны. В прямом пространстве и в G-пространстве нек-рого специального типа (эллиптическом) геодезическая определяется двумя точками.
В общих G-пространствах, в отличие от пространства Минковского, сфера не всегда выпукла. Перпендикулярность, определяемая через кратчайшие до геодезических, в отличие от пространства Евклида, не обязательно симметрична. В терминах G-пространств формулируются признаки, выделяющие пространства Евклида, сферическое пространство, пространство Минковского.
Теория G-пространств показала, что многие результаты дифференциальной геометрии не связаны с условиями дифференцируемости. Эта теория углубила изучение финслеревых пространств; позволила исследовать метризации аффинного и проективного пространств, превращающих прямые в геодезические; рассмотреть свободу выбора сети геодезических за счет метризации. Ряд нерешенных вопросов связан с возможным топологич. строением G-пространств (см. [1]).
Лит.:[1] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962. В. А. Залгаллер.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
