Изучение размерностей

Анализ размерности (англ. Dimensional analysis — «размерный анализ» или «пространственное изучение»; чаще говорят «соображения размерности» или «метрические соображения») — инструмент, используемый в физике, химии, технике и нескольких направлениях экономики для построения обоснованных гипотез о взаимосвязи различных параметров сложной системы. Впервые методически изложен Н. А. Морозовым в монографии «Основы качественного физико-математического анализа и новые физические факторы, обнаруживаемые им в различных явлениях природы» (1908).

Суть метода в простейшем случае заключается в том, что для поиска выражения одного из параметров исследуемой системы через другие из последних составляется формула (их произведение в каких-то степенях), имеющая нужную размерность; часто именно она и оказывается искомым соотношением (с точностью до безразмерного множителя).

Построение соотношения

Соотношение между параметрами изучаемой системы строится по правилу:

• Если результат соотношения должен увеличиваться при увеличении параметра — он идёт в числитель,
• Если результат соотношения должен увеличиваться при уменьшении параметра — он идёт в знаменатель.

Согласно этому правилу, в физических соотношениях время ставится в знаменатель. Иногда говорят, что в физических расчетах параметры дифференцируются по времени. Это же правило применяется в экономике и других областях.

Примеры

Физика и техника

Простейший пример: если обозначить размерности физической величины буквами M, L, T, и поставить им в соответствие массу, расстояние, время, то такая физическая величина, как скорость, может быть представлена как «расстояние / время», то есть как (L/T), а сила может быть представлена как «масса × ускорение» или «масса × расстояние/время²» или (ML/T²).

С помощью таких же соотношений можно выразить мощность, импульс и другие величины, в том числе весьма необычные, такие, как «вязкость» или «скорость переноса мощности». Даже масса, которую механика считает абсолютной величиной, может быть выражена с помощью метрических соотношений как производная от объёма.^[1][2]

Экономика

Похожие соотношения применяются и в экономике. В этом случае M соответствует количественному показателю («сколько грузов перевозится», «сколько денег тратится на сделку» и так далее), L соответствует качественному показателю («какие изменения произошли»), а T соответствует времени («как долго всё продолжалось»).^[3] При сравнении двух экономических процессов, занимающих одно и то же время, соотношение сокращается до (ML), а время принимается равным единице.

Доставка грузов

В задачах снабжения и перевозки грузов часто требуется найти ответ на вопрос «сколько грузов как далеко и как быстро может быть доставлено». Время доставки известно лишь приблизительно (поскольку на пути транспорта всегда возникают препятствия), но это значение должно быть не меньше и не больше некоторых предельных уровней (порядка нескольких часов). Поэтому перед отправкой транспорта изучается пропускная способность каждой транспортной линии и грузооборот каждого транспортного предприятия. Как правило, это скалярные величины, но если изучается недавняя история предприятия и оцениваются его будущие возможности, грузооборот становится векторной величиной.

Эти величины измеряются в тоннокилометрах, их метрическое обозначение — (ML), то есть «масса × расстояние». Поскольку речь идёт о сравнении двух транспортных линий, время считается равным единице.

Литература

• M. Рожков, Н. А. Морозов — основоположник анализа размерности (PDF) // Успехи физических наук, 1953, т. 49, вып. 1, с. 180—181.
• Филиппов Г. Г. Теория размерностей и LTM-физика.
• Чижов Е. Б. Геометризация физических величин.
• Тирский Г. А. Анализ размерностей.
• Huntley, H. E. Dimensional Analysis (1967).

См. также

• Размерность физической величины
• Размерность (значения)
• Фазовое пространство
• Система физических величин
• Степени свободы
• Пи теорема

Примечания

1. ↑ Герман Смирнов, «Числа, которые преобразили мир» — «Техника – молодежи»
2. ↑ Р.Л. Бартини, П. Г. Кузнецов, «Моделирование динамических систем», Брянск, 1974 г.
3. ↑ Несмотря на обозначение M, количественный показатель — не масса, т.к. это не физика

Учёные

• Николай Морозов
• Роберт Бартини
• Побиск Кузнецов
• Г. Е. Хантли
• Б. Хайм