ОДНОРОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО

- множество вместе с заданным на нем транзитивным действием нек-рой группы. Точнее, Месть однородное пространство группы G, если задано отображение

множества в Мтакое, что:

1)

2)

3)для любых существует такой что

Элементы множества Мназ. точками О. п., группа G- группой движений, или основной (фундаментальной) группой, О. п. Любая точка хО. п. Мопределяет подгруппу

основной группы G. Она наз. изотропии группой, или стационарной подгруппой, или стабилизатором точки x. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе Gс помощью внутренних автоморфизмов.

С произвольной подгруппой Нгруппы Gсвязано нек-рое О. п. группы G- множество левых классов смежности группы Gпо подгруппе H, на к-ром Gдействует по формуле

Это О. п. наз. факторпространством группы G по подгруппе H, а подгруппа Ноказывается стабилизатором точки еН=Н этого пространства (е- единица группы G). Любое О. п. Мгруппы Gможно отождествить с факторпространством группы Gпо подгруппе являющейся стабилизатором фиксированной точки хО М, с помощью биекции

где g- любой элемент из G, для к-рого

Если группа Gявляется топологич. группой, а H - ее подгруппой (соответственно G- группа Ли, а Н- замкнутая подгруппа в G), то факторпространство канонич. образом снабжается структурой топологич. пространства (соответственно структурой аналитич. многообразия), относительно к-рой действие группы G на Мявляется непрерывным (соответственно аналитическим). Если группа Ли Gтранзитивно и аналитически действует на аналитич. многообразии М, то для любой точки подгруппа замкнута и указанная выше биекция аналитична;

если при этом число связных компонент группы Gне более чем счетно, то эта биекция является диффеоморфизмом.

Изучаются также случай, когда G - алгебраич. группа, а М- алгебраич. многообразие (см. Однород ное пространство алгебраической группы), и случай, когда М- комплексное многообразие, a G- вещественная (или комплексная) группа Ли (см. Однородное комплексное многообразие).

В дальнейшем всюду М- аналитич. многообразие, a G - группа Ли.

Геометрия однородных пространств. Согласно Эр-лангенской программе Ф. Клейна (F. Klein), предмет геометрии О. п. есть изучение инвариантов группы движений О. п. Классич. направлением исследований здесь является классификация тех или иных подмножеств О. п., прежде всего подмногообразий и их объединений, семейств подмногообразий и т. п. с точностью до движений из группы G. Такая классификация может быть получена при помощи построения полной системы инвариантов подмножества данного типа (примерами таких систем инвариантов служат длины сторон треугольника, а также кривизна и кручение гладкой кривой в трехмерном евклидовом пространстве). Общий метод построения полной системы локальных инвариантов (подвижного репера метод )для гладкого подмногообразия в произвольном О. п. группы Ли разработан Э. Картаном (см. [6], [16]).

Другое направление исследований состоит в отыскании и изучении инвариантных геометрич. объектов на О. п. (см. Инвариантный объект на однородном пространстве). Действие основной группы Ли Gв О. п. Миндуцирует действие группы Gв пространстве различных геометрич. объектов на М(функций, векторных и тензорных полей, связностей, дифференциальных операторов и т. п.). Геометрич. объекты, неподвижные относительно этого действия, наз. инвариантными объектами. Примерами таких объектов являются евклидова метрика в евклидовом пространстве, рассматриваемом как О. п. группы евклидовых движений, и конформная метрика, задающая угол между кривыми в конформном пространстве. С этим же направлением тесно связана задача описания и изучения О. п., обладающих тем или иным инвариантом. Напр., рассматриваются римановы и псевдоримановы, аффинной связности, симплектические О. п., однородные комплексные многообразия, то есть О. п., обладающие инвариантной метрикой (ри-мановой или псевдоримановой), аффинной связностью, симплектич. структурой, комплексной структурой соответственно. См. Риманово пространство однородное, Симплектическое пространство однородное, Однородное комплексное многообразие.

Важным классом О. п. является класс редуктивных О. п., т. е. таких О. п. G/H, что алгебра Ли д группы Ли Gдопускает разложение

где - алгебра Ли группы H, а - подпространство, инвариантное относительно присоединенного представления подгруппы Нв . Такое разложение определяет в О. п. G/H геодезически полную линейную связность с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения. Обратно, односвязное многообразие с полной линейной связностью, имеющей ковариантно постоянные тензоры кривизны и кручения, является редуктивным О. п. относительно группы автоморфизмов этой связности (см. [5]). Частным случаем редуктивного О. п. является симметрич. пространство, для к-рого разложение (*) удовлетворяет дополнительно условию . Геометрически это условие означает, что соответствующая связность имеет нулевое кручение.

Примерами симметрич. пространств являются глобально симметрические римановы пространства, а также пространство произвольной группы Ли, на к-ром группа движений порождается левыми и правыми сдвигами. Однородные расслоения и теория представлений.

Действие основной группы Gпродолжается не только на расслоения геометрия, объектов, но и на более широкий класс т. н. однородных расслоений. Однородное расслоение над О. п. G/H задается левым действием подгруппы Нна произвольном многообразии F(типовом слое) и определяется как естественная проекция

где - расслоенное произведение, получаемое с факторизацией прямого произведения по отношению эквивалентности

Если Р- векторное пространство, на к-ром группа Ндействует линейно, то соответствующее однородное расслоение является векторным, а в пространстве его сечений возникает линейное представление группы G, индуцированное представлением подгруппы Нв F. Изучение индуцированных представлений (свойства к-рых оказываются тесно связанными с геометрией соответствующего О. п.) и их обобщений играет важную роль в теории представлений групп Ли (см. [7]).

Анализ на однородных пространствах. К числу наиболее разработанных разделов относятся: 1) изучение различных функциональных пространств на О. п. (пространств функций, пространств сечений однородных векторных расслоений, пространств когомологий со значением в соответствующих пучках), 2) изучение инвариантных дифференциальных операторов, действующих на этих пространствах, 3) изучение различных динамич. систем, связанных с О. п.

К первому разделу относится теория сферич. функций (и, более общо, сферич. сечений), изучающая конечномерные инвариантные относительно основной группы пространства функций на О. п. (см. Представляющая функция). Многие специальные функции ма-тематич. физики интерпретируются как сферич. функции на том или ином О. п., и изучение представлений основной группы в пространствах таких функций позволяет единым образом получить основные результаты теории специальных функций (интегральные представления, рекуррентные формулы, теоремы сложения и т. п., см. [2]). Естественным обобщением теории рядов и интегралов Фурье является гармонический анализ абстрактный на О. п., одна из основных задач к-рого состоит в описании разложения пространства квадратично интегрируемых функций на О. п. в сумму подпространств, неприводимых относительно действия основной группы. Большинство полученных здесь результатов относится к случаю, когда О. п. есть пространство полупростой группы Ли (см. [4]).

Теория автоморфных функций приводит к более общей задаче о разложении на неприводимые компоненты пространства квадратично интегрируемых сечений однородного векторного расслоения над О. п. G/H, инвариантных относительно нек-рой дискретной подгруппы

Кроме пространств функций, изучаются также и различные пространства мер на О. п., напр, в связи с приложениями в теории вероятностей (см. [3], [9]).

Ко второму разделу относятся вопросы описания инвариантных дифференциальных операторов на О. п., изучение их свойств, нахождение спектра и фундаментального решения, исследование решений соответствующих дифференциальных уравнений с частными производными (см. [8], [15]).

К третьему разделу относится изучение различных динамических систем, связанных с О. п., напр, потока, порожденного однопараметрич. подгруппой основной группы, потока, порожденного канонич. связностью группы Ли, геодезического потока однородного рима-нова пространства и т. п. Исследуются условия эргодичности потоков, дается описание их первых интегралов (см. [1]).

К анализу на О. п. примыкает также интегральная геометрия, представляющая собой теорию инвариантных мер на О. п. и на связанных с ними многообразиях, точками к-рых являются подмногообразия того или иного типа.

Топология однородных пространств. Методы алгебраич. топологии позволяют в широком классе случаев свести задачу о вычислении основных топологич. инвариантов О. п. (кольцо когомологий, характери-стич. классы, K-функтор, гомотопич. группы и т. д.) к нек-рым алгебраич. задачам, связанным с алгебраич. строением основной группы и группы изотропии О. п. Для ряда классов О. п. получены явные результаты в этом направлении. Напр., теорема А. Картана (Н. Car-tan) дает алгоритм для вычисления алгебры вещественных когомологий где Gи H- связные компактные группы Ли, в терминах инвариантов групп Вейля для Gи Н(см. [10]). В частности, если G/H имеет ненулевую эйлерову характеристику (это равносильно совпадению рангов групп G и H), то многочлен Пуанкаре многообразия G/H имеет вид

где - степени базисных инвариантных многочленов групп Вейля для Gи Нсоответственно (формула Хирша).

Наиболее детально изучено топологич. строение О. п. компактных групп Ли, симметрич. пространств и солвмногообразий (однородных пространств разрешимых группы Ли). Теорема Мостова - Карпелевича, утверждающая, что любое О. п. группы Ли, имеющее конечную фундаментальную группу, диффеоморфно векторному расслоению над О. п. компактной группы Ли, в значительной мере сводит изучение топологии О. п. к случаю, когда основная группа компактна.

Классификация однородных пространств. Основные задачи этого направления состоят в определении тех многообразий, к-рые являются О. п. связных групп Ли, и в перечислении всех транзитивных действий связных групп Ли на этих многообразиях. Напр., единственными О. п. размерности 2 являются плоскость, цилиндр, сфера, тор, лист Мёбиуса, проективная плоскость и бутылка Клейна. К настоящему времени (1982) проведена также классификация всех трехмерных О. п. и (с точностью до конечнолистных накрытий) всех компактных О. п. размерностей (см. [11]).

Для ряда важных классов О. п. Мвысших размерностей известна классификация всех транзитивных действий групп Ли на М (см. [12]). Напр., классификация всех транзитивных действий компактных групп Ли на сферах выглядит следующим образом. Любое непрерывное транзитивное и эффективное действие связной компактной группы Ли на переводится нек-рым гомеоморфизмом сферы в стандартное линейное действие группы или одной из следующих ее подгрупп:

(теорема Монтгомери - Самельсона- Бореля, см. [10]). Что касается транзитивных действий некомпактных групп Ли на сфере , то. для четного пединственными такими действиями по существу являются проективное действие группы и конформное действие группы . Для нечетного презультат выглядит сложнее: здесь могут существовать транзитивные и эффективные действия групп Ли с радикалом сколь угодно большой размерности.

Лит.:[1] Ауслендер Л., Грин Л., Хан Ф., Потоки на однородных пространствах, пер. с англ., М., 1966; [2] Виленкин Н. Я., Специальные функции и теория представлений групп, М., 1965; [3] Гренандер У., Вероятности на алгебраических структурах, пер. с англ., М., 1965; [4] Желобенко Д. П., Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли, М., 1974; [5] Картан Э., Геометрия групп Ли и симметрические пространства, пер. с франц., М., 1949; [6] его же, Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера, пер. с франц., М., 1963; [7] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; [8] Xелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [9] Xеннан Э., Представления групп и прикладная теория вероятностей, пер. с англ., М., 1970; [10] Борель А., в кн.: Расслоенные пространства и их приложения, М., 1958; [11] Горбацевич В. В., в сб.: Геометрические методы в задачах алгебры и анализа, Ярославль, 1980, с. 37-60; [12] Онищик А. Л., "Матем. сб.", 1963, т. 60, № 4, с. 447-85; 1968, т. 75, № 2, с. 255-63; [13] Итоги науки. Алгебра. Топология, 1963, М., 1964; [14] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 11, М., 1974; [15] Helgason S., Analisis on Lie groups and homogeneous spaces, Providence, 1972; [16] Jensen G., Higher order contact of submanifolds of homogeneous spaces, B.-[u. a.], 1977; [17] Кобаяси III., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1981; [18] Wolf J. А., Spaces of constant curvature, N. Y., 1967. Д. В. Алексеевский.