Постоянная Каталана

Постоя́нная Катала́на G (англ. Catalan's constant) встречается в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Её также обозначают буквами K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакопеременного ряда

$G = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!$

Её численное значение приблизительно равно^[1]:

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (последовательность A006752 в OEIS)

Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.

Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (фр. Eugène Charles Catalan).

Связь с другими функциями

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

$G = \beta(2) \; .$

Она также соответствует частному значению функции Клаузена, которая связана с мнимой частью дилогарифма

$G = \mathrm{Cl}_2(\pi/2) \; = \mathrm{Im} \left( \mathrm{Li}_2(e^{\mathrm{i}\pi/2}) \right) = \mathrm{Im} \left( \mathrm{Li}_2({\mathrm{i}}) \right)\; .$

Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

$\psi_{1}\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G \; ,$

$\psi_{1}\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G \; ,$

так что

$G = \tfrac{1}{16} \left[\psi_{1}\left(\tfrac14\right) - \psi_{1}\left(\tfrac34\right)\right] \; .$

Симон Плуффе (Simon Plouffe) нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией $\psi_1$, $\pi^2$ и постоянной Каталана G.

Интегральные представления

Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

$G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \; ,$

$G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \; ,$

$G = \tfrac12 \int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt \; ,$

$G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x}\,dx \;$.

Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x),

$G = \tfrac12\int_0^1 \mathrm{K}(x)\,dx \; .$

Быстро сходящиеся ряды

Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

$G = \frac{\pi}{8} \log(\sqrt{3} + 2) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.$

и

$G = \,$	$3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}} \left( -\frac{1}{2(8n+2)^2} +\frac{1}{2^2(8n+3)^2} -\frac{1}{2^3(8n+5)^2} +\frac{1}{2^3(8n+6)^2} -\frac{1}{2^4(8n+7)^2} +\frac{1}{2(8n+1)^2} \right)$
	$- 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}} \left( \frac{1}{2^4(8n+2)^2} +\frac{1}{2^6(8n+3)^2} -\frac{1}{2^9(8n+5)^2} -\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2} -\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2} +\frac{1}{2^3(8n+1)^2} \right)$

Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы^[2] и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы^[3]. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е.А. Карацубой^[4][5].

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов^[6].

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1865	14	Эжен Шарль Каталан
1877	20	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1913	32	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1990	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»20 000	Greg J. Fee
1996	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»50 000	Greg J. Fee
1996, 14 августа	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»100 000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996, 29 сентября	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»300 000	Thomas Papanikolaou
1996	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»1 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»3 379 957	Patrick Demichel
1998, 4 января	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»12 500 000	Xavier Gourdon
2001	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»100 000 500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»201 000 000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006, октябрь	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»5 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[7]
2008, август	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»10 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[8]
2009, 31 января	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[9]
2009, 16 апреля	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[9]

См. также

• Дзета-функция Римана
• Бета-функция Дирихле

Примечания

1. ↑ Catalan's Constant to 1,500,000 Places (HTML). gutenberg.org. Проверено 5 февраля 2011.
2. ↑ B.C. Berndt, Ramanujan's Notebook, Part I, Springer Verlag (1985)
3. ↑ D.J. Broadhurst, "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)", (1998) arXiv math.CA/9803067
4. ↑ E.A. Карацуба, Быстрое вычисление трансцендентных функций. Проблемы передачи информации, т. 27, N 4, с. 87-110 (1991)
5. ↑ E.A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J.W. von Gudenberg, eds.; pp. 29-41 (2001)
6. ↑ X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation
7. ↑ Shigeru Kondo's website
8. ↑ Constants and Records of Computation
9. ↑ ^{1 2} Large Computations

Ссылки

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant
• Victor Adamchik (2002). «A certain series associated with Catalan's constant». Zeitschr. f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA) 21 (3): 1–10. MR1929434.
• Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan, (1993)
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi^2, (1999)
• Weisstein, Eric W. Catalan's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions
• Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996)
• David M. Bradley (1999). «A class of series acceleration formulae for Catalan's constant». The Ramanujan Journal 3 (2): 159–173. DOI:10.1023/A:1006945407723. MR1703281.
• David M. Bradley (2007), "A class of series acceleration formulae for Catalan's constant", arΧiv:0706.0356