Константа Бруна

Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).

В 1919 году Вигго Брун показал, что сумма обратных значений для чисел-близнецов сходится к некоторой константе, которая получила название Константа Бруна для чисел-близнецов:^[1]

$B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots$

Данный вывод интересен тем, что если бы эта сумма расходилась, то тем самым была бы доказана бесконечность последовательности пар чисел-близнецов. В настоящее время неизвестно, является ли константа Бруна иррациональным числом, но если это будет доказано, то отсюда будет следовать бесконечность последовательности пар чисел-близнецов. Доказательство рациональности константы Бруна оставит проблему чисел-близнецов открытой.

Существующими в настоящее время методами константу Бруна чрезвычайно трудно вычислить с высокой точностью. Строго доказаны границы $1{,}83 < B_2 < 2{,}1754$^[2]. Вычисления, использующие некоторые недоказанные гипотезы, дают оценку $1{,}902160583190 \pm 0{,}000000001175$^[1].

Также известна константа Бруна для простых четверок. Простая четверка это две пары чисел-близнецов. Первые простые четверки это (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для простых четверок, которая обозначается B₄, представляет собой сумму чисел, обратных числам в этих четверках:

$B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots$

См. также

• Математическая константа

Примечания

1. ↑ ^{1 2} последовательность A065421 в OEIS
2. ↑ Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer. ISBN 0387252827.