Дилогарифм

Действительная и мнимая части функции $\mathrm{Li}_2(x)$

Дилогари́фм — специальная функция в математике, которая обозначается $\mathrm{Li}_2(z)$ и является частным случаем (n=2) полилогарифма $\mathrm{Li}_n(z)$. Дилогарифм определяется как

$\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z\frac{\ln(1-t)}{t}\,\mathrm{d}t = \sum_{j=1}^\infty \frac{z^j}{j^2}\;.$

Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной z. Для действительных значений z=x у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от 1 до $\infty$. Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:

$\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2(x)\right] = \left\{ 0 \;\; (x\leq 1); \quad - \pi\ln{x} \;\; (x>1) \right\}$

Функцию $\operatorname{Li}_2(z)$ часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 году^[1]. Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function), в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, 1777—1815)^[2], который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие $-\mathrm{Li}_2(-z)$ и $\mathrm{Li}_2(1-z)$. Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.

Функциональные соотношения

Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,

$\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(-z) = {\textstyle{\frac12}} \operatorname{Li}_2(z^2)$

$\operatorname{Li}_2(1-z)+\operatorname{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right)=-{\textstyle{\frac12}}\ln^2{z}$

$\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1-z) = {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2 - \ln z \;\ln(1-z)$

$\operatorname{Li}_2(-z)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{z}{1+z}\right)= - {\textstyle{\frac12}} {\ln^2(1+z)}$

$\operatorname{Li}_2(-z)-\operatorname{Li}_2(1-z)+ {\textstyle{\frac12}} \operatorname{Li}_2(1-z^2)=- {\textstyle{\frac{1}{12}}} \pi^2 - \ln z \ln(1+z)$

$\operatorname{Li}_2(-z)+\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{z}\right)= - {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2 -{\textstyle{\frac12}}\ln^2{z}$

Для действительных $x>1$,

$\operatorname{Li}_2(x)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{x}\right)= {\textstyle{\frac{1}{3}}} \pi^2 -{\textstyle{\frac12}}\ln^2{x} - {\rm i}\pi\ln{x}$

Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:

$\operatorname{Li}_2(xy) = \operatorname{Li}_2(x) + \operatorname{Li}_2(y) - \operatorname{Li}_2\left(\frac{x(1-y)}{1-xy}\right) - \operatorname{Li}_2\left(\frac{y(1-x)}{1-xy}\right)-\ln\left(\frac{1-x}{1-xy}\right)\ln\left(\frac{1-y}{1-xy}\right)$

Частные значения

$\operatorname{Li}_2(0)=0$

$\operatorname{Li}_2(1)= {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2$

$\operatorname{Li}_2(-1) = - {\textstyle{\frac{1}{12}}} \pi^2$

$\operatorname{Li}_2({\textstyle{\frac12}})={\textstyle{\frac{1}{12}}}\pi^2 - {\textstyle{\frac12}}\ln^2{2}$

Используя соотношение между функциями от x и 1/x, получаем

$\operatorname{Li}_2(2) = {\textstyle{\frac{1}{4}}} \pi^2 - {\rm i} \pi \ln{2}$

Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением $\phi = {\textstyle{\frac12}}(1+\sqrt{5})$,

$\operatorname{Li}_2(-\phi)=-{\textstyle{\frac{1}{10}}} \pi^2 - \ln^2{\phi}$

$\operatorname{Li}_2(-\phi^{-1})=-{\textstyle{\frac{1}{15}}} \pi^2 + {\textstyle{\frac12}} \ln^2{\phi}$

$\operatorname{Li}_2(\phi^{-1})= {\textstyle{\frac{1}{10}}} \pi^2 - \ln^2{\phi}$

$\operatorname{Li}_2(\phi^{-2})= {\textstyle{\frac{1}{15}}} \pi^2 - \ln^2{\phi}$

а также для дилогарифма мнимого аргумента,

$\operatorname{Li}_2(\pm{\rm i}) = - {\textstyle{\frac{1}{48}}} \pi^2 \pm {\rm i} G$

где G — постоянная Каталана.

Соотношения для частных значений

$\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{3}}}\right)-{\textstyle{\frac{1}{6}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)={\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2-{\textstyle{\frac{1}{6}}}\ln^2{3}$

$\operatorname{Li}_2\left(-{\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)+{\textstyle{\frac{1}{6}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)=-{\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2+\ln{2}\;\ln{3}-{\textstyle{\frac{1}{2}}}\ln^2{2}-{\textstyle{\frac{1}{3}}}\ln^2{3}$

$\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{4}}}\right)+{\textstyle{\frac{1}{3}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)={\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2+2\ln{2}\;\ln{3}-2\ln^2{2}-{\textstyle{\frac{2}{3}}}\ln^2{3}$

$\operatorname{Li}_2\left(-{\textstyle{\frac{1}{3}}}\right)-{\textstyle{\frac{1}{3}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)=-{\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2+{\textstyle{\frac{1}{6}}}\ln^2{3}$

$\operatorname{Li}_2\left(-{\textstyle{\frac{1}{8}}}\right)+\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)=-{\textstyle{\frac{1}{2}}}\ln^2\!\left({\textstyle{\frac{9}{8}}}\right)$

$36\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)-36\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{4}}}\right)-12\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{8}}}\right)+6\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{64}}}\right)={\pi}^2$

Функции, связанные с дилогарифмом

• Функция Клаузена $\operatorname{Cl}_2(\theta)$

Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,

$\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right) = {\textstyle{\frac{1}{6}}}\pi^2 - {\textstyle{\frac{1}{4}}}\theta (2\pi-\theta) + {\rm i}\;\operatorname{Cl}_2(\theta), \quad (0\leq\theta\leq2\pi)$

Таким образом,

$\operatorname{Cl}_2(\theta)=\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right)\right] = {\textstyle{\frac{1}{2{\rm i}}}}\left[\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right)-\operatorname{Li}_2\left(e^{-{\rm i}\theta}\right)\right]$

• Функция Лобачевского

Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),

$L(\theta)=-\int_0^{\theta}{\rm d}\tau\; \ln|\cos\tau| = -{\textstyle{\frac{1}{2}}} \operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta) + \theta\ln{2}$

Иногда используется другое определение функции Лобачевского,

$\Lambda(\theta) = -\int_0^{\theta}{\rm d}\tau\; \ln|2\sin\tau| = {\textstyle{\frac{1}{2}}} \operatorname{Cl}_2(2\theta)$

• Интегральный арктангенс $\operatorname{Ti}_2(y)$

Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,

$\operatorname{Li}_2({\rm i}y) = {\textstyle{\frac{1}{4}}}\operatorname{Li}_2(-y^2)+{\rm i}\;\operatorname{Ti}_2(y)$

Таким образом,

$\operatorname{Ti}_2(y)=\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2({\rm i}y)\right] = {\textstyle{\frac{1}{2{\rm i}}}}\left[\operatorname{Li}_2({\rm i}y)-\operatorname{Li}_2(-{\rm i}y)\right]$

• Функция Лежандра ${\displaystyle{\chi_2(z)}}$

Эта функция выражается через дилогарифмы как

$\chi_2(z) = \sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{z^{2j+1}}{(2j+1)^2} = {\textstyle{\frac{1}{2}}} \left[ \operatorname{Li}_2(z)-\operatorname{Li}_2(-z) \right]$

В частности, $\chi_2({\rm i}y)={\rm i}\operatorname{Ti}_2(y)$.

Примечания

1. ↑ Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals
2. ↑ William Spence — Biography

Ссылки

• Leonard Lewin, Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. MR0105524
• Leonard Lewin, Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.
• Don Zagier, The dilogarithm function (PDF)
• Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.