Знакопеременный ряд

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

$\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n>0$

Признак Лейбница

Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для ряда $\sum_{n=1}^\infty b_n$ выполняются следующие условия: знакочередование (например: $b_n = (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n&amp;gt;0$) an + 1 < an (монотонное убывание {an}) $\lim_{n \to \infty} \, a_n = 0$. Тогда этот ряд сходится.

Замечание: Если, выполнены все условия, и ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Пример

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \;$. Ряд из модулей иммет вид $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ - это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

1. знакочередование выполнено $b_n = (-1)^{n+1}\,a_n, \; a_n>0$
2. $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} , \;\forall \;n$
3. $\lim_{n \to \infty} \, \frac{1}{n} = 0$.

Следовательно, т.к. все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена остатка ряда. Поскольку любой остаток ряда r_n является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

$\left| r_n \right| < a_{n+1}$.