ВЫПУКЛАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

область (связное открытое множество) на границе выпуклого тела в евклидовом пространстве Е ³. Вся граница выпуклого тела наз. полной В. п. Если тело конечно, то полная В. п. наз. замкнутой. Если тело бесконечно, то полная В. п. наз. бесконечной. Бесконечная В. п. гомеоморфна либо плоскости, либо круговому цилиндру. В последнем случае она сама является цилиндром. Простейшее выпуклое тело - выпуклый многогранник, т. е. пересечение конечного числа полупространств. Поверхность выпуклого многогранника составлена из выпуклых многоугольников и также наз. выпуклым многогранником.

Современная теория В. п. построена главным образом советскими геометрами - А. Д. Александровым и его школой. Однако отдельные результаты теории В. п. были известны значительно раньше. Так, еще О. Коши (A. Cauchy) доказал неизгибаемость замкнутого выпуклого многогранника. Г. Либман (Н. Liebmann) и В. Бляшке (W. Blaschke) доказали жесткость замкнутых выпуклых поверхностей. Г. Минковский (Н. Minkow-ski) - существование замкнутой В. п. с данной гауссовой кривизной. Г. Вейль (Н. Weyl) наметил решение проблемы существования замкнутой В. п. с данной метрикой. Это решение было завершено Г. Леви (Н. Lewy). С. Кон-Фоссен (S. Cohn-Vossen) доказал однозначную определенность регулярных замкнутых В. п.

С каждой точкой XВ. п. Fестественным образом связан конус V(X) - предел поверхностей F_n при пстремящейся к бесконечности, получаемых преобразованием гомотетии из Fотносительно точки Xс коэффициентом гомотетии п. Этот конус наз. касательным конусом. В зависимости от вида касательного конуса, точки В. п. подразделяются на конические, ребристые и гладкие. Точка В. п. наз. конической, если касательный конус в этой точке не вырождается. Если же касательный конус вырождается в двугранный угол или плоскость, точка наз. ребристо и или, соответственно, гладкой. Негладкие точки на В. п. представляют собой в нек-ром смысле исключение.

Именно, множество ребристых точек имеет меру нуль, а множество конических точек не более чел счетно.

Для последовательности В. п. определяется понятие сходимости: последовательность В. п. F_n сходится к В. п. F, если любое открытое множество Dодновременно пересекает или не пересекает Fи все при Любую В. п. можно представить как предел выпуклых многогранников. Бесконечные совокупности В. п. обладают важным свойством компактности, состоящим в том, что из любой последовательности полных В. п., не удаляющихся в бесконечность, всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность с пределом в виде В. п., к-рая может быть вырожденной (в дважды покрытую плоскую область, прямую, полупрямую или отрезок).

Любые две точки В. п. можно соединить спрямляемой кривой на поверхности. Точная нижняя грань длин кривых, соединяющих две данные точки на В. п., наз. расстоянием между этими точками на поверхности. Кривая на В. п. наз. кратчайшей, если она имеет наименьшую длину среди всех кривых на поверхности, соединяющих ее концы. .У каждой точки В. п. есть окрестность, любые две точки к-рой можно соединить кратчайшей на поверхности. На полной В. п. любые две точки соединяются кратчайшей. Кратчайшая на В. п. имеет в каждой точке правую и левую полукасательные. Важнейшим свойством кратчайших на В. п. является свойство неналега-н и я. Оно состоит в том, что для взаимного расположения двух кратчайших могут быть только следующие возможности: кратчайшие не имеют общих точек; кратчайшие имеют одну общую точку; кратчайшие имеют две общие точки, являющиеся их концами; одна кратчайшая есть часть другой; кратчайшие совпадают на нек-ром отрезке, причем один конец этого отрезка является концом одной кратчайшей, а второй конец служит концом другой кратчайшей. Метрика В. п. обладает свойством выпуклости (см. Выпуклая метрика). Углом между кратчайшими и в точке О наз. предел угла при . Определяемый так угол существует для любых двух кратчайших, исходящих из общей точки. По свойству неналегания кратчайших, кратчайшие и , исходящие из точки О, разбивают окрестность этой точ:;и на два сектора. Пусть F - один из этих секторов, ограниченный кратчайшими и . Проведем в этом секторе кратчайшие , занумеровав их в порядке следования от к . Пусть - углы между соседними кратчайшими .Углом сектора V наз. точная верхняя грань суммы углов + по всем кратчайшим внутри сектора. Угол сектора равен углу между полукасательными к кратчайшим в точке Она развертке касательного конуса. Сумма углов взаимно дополняющих секторов с вершиной в точке Оне зависит от взятых кратчайших и наз. полным углом поверхности в точке О. Полный угол в любой точке В. п. не превышает

Для В. п. вводится понятие внутренней и внешней кривизны. Внутренняя кривизна определяется сначала для основных множеств - точек, открытых кратчайших и треугольников. Треугбль-ником наз. гомеоморфная кругу область, ограниченная тремя кратчайшими. Если М - точка и - полный угол вокруг нее на поверхности, то Если М- открытая кратчайшая, т. е. кратчайшая с исключенными концами, то . Если М - открытый треугольник, т. е. треугольник с исключенными сторонами и вершинами, то , где - углы треугольника. Далее кривизна определяется для элементарных множеств, представляемых в виде теоретико-множественной суммы попарно не пересекающихся основных: Для таких множеств . Внутренняя кривизна любого замкнутого множества определяется как точная нижняя грань внутренней кривизны элементарных множеств, содержащих данное замкнутое множество. Наконец, для любого множества внутренняя кривизна определяется как верхняя грань внутренней кривизны содержащихся в нем замкнутых множеств. Определяемая таким образом внутренняя кривизна на В. п. является вполне аддитивной функцией на кольце борелев-ских множеств. Внешняя кривизна множества на В. п. определяется как площадь (мера Лебега) сферического изображения этого множества. Она определена для всех борелевских множеств на В. п. и совпадает с внутренней кривизной.

Метрика двумерного многообразия наз. внутренней, если расстояние между любыми двумя точками многообразия равно точной нижней грани длин кривых в этом многообразии, соединяющих точки . При этом длина кривой соединяющей точки определяется как точная верхняя грань сумм

Пусть - две кривые, исходящие из точки Ов многообразии с внутренней метрикой. Возьмем на них точки и построим плоский треугольник со сторонами . Нижний предел угла i этого треугольника, противолежащего стороне , наз. углом между кривыми и в точке О. Очевидно, этот угол всегда существует. Метрика многообразия наз. выпуклой, если для любого треугольника, стороны к-рого являются кратчайшими, сумма его углов не меньше . Метрика В. п.- в этом смысле выпуклая. Одним из основных результатов теории В. п. является теорема о реализуемости внутренней выпуклой метрики на нек-рой В. п. Именно, полное многообразие с внутренней выпуклой метрикой реализуется полной В. п.

Для кривых на В. п. вводится понятие правого и левого поворотов, обобщающее понятие интегральной геодезической кривизны,. Пусть - произвольная кривая без самопересечений на В. п. с концами А и В. Задается направление на кривой и строится последовательность простых геодезических ломаных с концами А, В, сходящихся к и расположенных в правой полуокрестности кривой. Пусть - углы секторов, образуемые звеньями ломаной со стороны области, ограниченной ломаной и кривой - углы секторов, образуемых ломаной и кривой в концевых точках. Правым поворотом наз. предел при . Этот предел всегда существует, если кривая имеет определенные направления на концах, т. е. полукасательные, и не зависит от взятой последовательности ломаных. Левый поворот определяется аналогично. Поворот замкнутой кривой определяется путем приближения к ней замкнутой ломаной с соответствующей стороны. Для В. п. имеет место теорема, обобщающая Гаусса - Бонне теорему дл-я регулярных поверхностей. Именно, если замкнутая кривая на В. п. ограничивает гомеоморфную кругу область, то сумма кривизны области и поворота кривой, ограничивающей область со стороны этой области, равна .

Изометрическим преобразованием наз. такая деформация В. п., при к-рой поверхность остается выпуклой и ее метрика не меняется, т. е. не изменяются расстояния между точками на поверхности. Изометрич. преобразование наз. тривиальным, если оно сводится к перемещению поверхности как целого или к перемещению и зеркальному отражению.

Поверхность, не допускающая нетривиальных изометрич. преобразований, наз. однозначно определенной. Замкнутые В. п. п бесконечные В. п. с полной кривизной являются однозначно-определенными. Бесконечные В. п. с полной кривизной, меньшей , допускают нетривиальные изометрич. преобразования и притом с большим произволом. Всякая В. п. локально допускает нетривиальные изометрич. преобразования, т. е. каждая точка В. п. имеет окрестность, допускающую такие преобразования.

Важнейшим средством исследования изометрич. преобразований В. п. является теорема о склеивай п н. Согласно этой теореме, полное многообразие , составленное из областей , изометрнчных В. п., само изометрпчно В. п., если выполняются следующие условия: границы областей имеют повороты ограниченной вариации, отождествляемые участки границ одинаковой длины, сумма поворотов на любом отрезке отождествляемых границ неотрицательна, а сумма углов секторов в любой общей точке границ областей не превышает . Теоремы о возможности нетривиальных изометрич. преобразований В. п. обычно получают "под-клеиванием" к данной В. п. плоской области с соблюдением указанных выше условий.

Для общих В. п. вводится понятие площади для любого борелевского множества; сначала оно вводится для простейших множеств, ограниченных кратчайшими,- геодезич. многоугольников. Многоугольник подвергается мелкой триангуляции так, чтобы стороны треугольников были меньше . Для каждого треугольника этой триангуляции строится плоский треугольник со сторонами топ же длины и берется сумма площадей таких треугольников. Оказывается, независимо от выбора триангуляции многоугольника, сумма при стремится к определенному пределу. Этот предел и принимается за площадь многоугольника. Затем обычными приемами теории меры определяются площади замкнутых, открытых п вообще борелевских множеств. Площадь В. п. есть вполне аддитивная функция на кольце борелевских множеств.

Удельной кривизной В. п. в области Dназ. отношение кривизны области к ее площади. Если удельная кривизна В. п. во всех областях заключена в положительных пределах, то поверхность является гладкой и строго выпуклой. Гауссовой кривизной В. п. в данной точке Xназ. предел удельной кривизны области Dпри стягивании ее к точке X. Гауссова кривизна, если она существует, является непрерывной функцией точки на поверхности. Если на В. п. существует определенная гауссова кривизна, то на этой поверхности можно ввести полярные геодезич. координаты и представить линейный элемент поверхности в виде

При этом гауссова кривизна с помощью коэффициента Gопределяется по формуле

В. п. наз. регулярной, если в окрестности любой ее точки она допускает аналитич. адание , где - регулярная (достаточное число раз дифференцируемая) вектор-функция, удовлетворяющая условию Метрика В. п. наз. регулярной, если она допускает задание с помощью линейного элемента причем коэффициенты формы - регулярные функции. Регулярная В. п. имеет, очевидно, регулярную метрику, так как Обратное, вообще говоря, неверно. Напр., двугранный угол имеет регулярную, даже аналитич. метрику, так как он изометричен плоскости, но не является регулярной поверхностью. Однако, если метрика В. п. регулярна, а гауссова кривизна положительна, то поверхносгь регулярна. Именно, если коэффициенты линейного элемента дифференцируемы праз , то поверхность дифференцируема по крайней мере n-1 раз.

Теория В. п. .строится также и в пространствах постоянной кривизны. При этом, как и в евклидовом пространстве, В. п. наз. область на границе выпуклого тела. Многие результаты теории В. п. в пространствах постоянной кривизны формулируются н доказываются так же, как и для В. п. евклидова пространства. Однако нек-рые результаты существенно отличаются. Напр., в пространстве Лобачевского полная В. п. может быть гомеоморфна любому связному открытому множеству на сфере.

Лит.:[1] Minkowski H., "Math. Ann.", 1903, Bd 57, S. 447-95; [2] Вейль Г., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 2, с. 159-90; [3] Кон - Фоссен С. Э.,"Успехи матем. наук", 1936, в. 1, с. 33-76; [4] Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948; [5] По гор слов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969. А. В. Погорелое.