Условный экстремум

Пусть ${G \subset R^n}$ — открытое множество и на $G$ заданы функции $y_{i} = f_{i}(\vec x), \vec x \in G, i = 1,2,\dots,m$. Пусть $E = \lbrace \vec x \in G | \forall i = 1, 2, \dots, m \ f_{i}(\vec x) = 0 \rbrace$.

Эти $f_{i}(\vec x) = 0$ уравнения называют уравнениями связей (терминология заимствованна из механики).

Пусть на G определена функция $y = f_{0}(\vec x)$. Точка $\vec x_{0} \in E$ называется точкой условного экстремума функции $y = f_{0}(\vec x)$ относительно уравнений связи, если она является точкой обычного экстремума $f_{0}(\vec x)$ на множестве E (рассматриваются окрестности $U_{E}(\vec x_{0})\bigcap E$).

Метод множителей Лагранжа для решения задачи условного экстремума

Теорема

Пусть $\vec x_{0}$ — точка условного экстремума функции $f_{0}(\vec x)$ при выполнении уравнений связи. Тогда в этой точке $\vec x_{0}$ градиенты $\nabla f_{i}, i = 0,1,\dots,m$ являются линейно зависимыми, то есть $\exists \lambda _{i}, i = 0,1,\dots,m\colon \sum^{m}_{i=0} |\lambda _{i}| \ne 0$ но $\sum^{m}_{i=0} \lambda _{i} \nabla f_{i} = \vec 0$.

Следствие

Если $\vec x_{0}$ — точка условного экстремума функции $f_{0}(\vec x)$ относительно уравнений связи, то $\exists \lambda _{1},\dots,\lambda _{m}$ такие, что в точке $\vec x_{0}~~\nabla f_{0} + \lambda _{1} \nabla f_{1} + \dots + \lambda _{m} \nabla f_{m} = \vec 0$ или в координатном виде $\frac{\partial f_{0}}{\partial x_{i}}(\vec x_{0}) + \lambda _{1}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{i}}(\vec x_{0}) + \dots + \lambda _{m}\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{i}}(\vec x_{0}) = 0$.

Достаточное условие условного экстремума

Пусть $\vec x_{0}$ является стационарной точкой функции Лагранжа $L(\vec f, \vec \lambda, \vec x)$ при $\lambda = \vec \lambda _{0}$. Если $d^2 L(\vec x_{0})$ — отрицательно (положительно) определена квадратическая форма переменных $dx_{1},\dots,dx_{n}$ при условии $df_{1}(\vec x_{i}) = 0 , i = 1,\dots, m$, то $\vec x_{0}$ является точкой max (min для положительно определенной) условного экстремума. Если она при этих условиях не является знакоопределенной, тогда экстремума нет.

См. также

• Метод множителей Лагранжа
• Экстремум