УСЛОВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

- функция элементарного события и борелевского множества, при каждом фиксированном элементарном событии являющаяся распределением, вероятностей, а при каждом фиксированном борелевском множестве - условной вероятностью.
Пусть -вероятностное пространство, есть -алгебра борелевских множеств на прямой, X-случайная величина, определенная на -под- -алгебра Функция определенная на наз. (регулярным) условным распределением случайной величины Xотносительно -алгебры если:
а) при фиксированном функция -измерима,
б) с вероятностью единица при фиксированном функция является вероятностной мерой на
в) для произвольного

Аналогично определяется У. р. случайного элемента со значениями в произвольном измеримом пространстве Если -полное сепарабельное метрич. пространство, есть -алгебра борелевских множеств, то У. р. случайного элемента относительно любой -алгебры существует.
Функцию наз. условной функцией распределения случайной величины Xотносительно -алгебры
У. р. (условная функция распределения) случайной величины Xотносительно случайной величины У определяется как У. р. (условная функция распределения) Xотносительно s-алгебры, порожденной Y.
Условная функция распределения Fx(x|Y) случайной величины Xотносительно Y является борелевской функцией от Y; при Y=y ее значение F_X(x|Y=у) наз. условной функцией распределениях при фиксированном значении Y. Пусть Y имеет плотность распределения f_Y (у), тогда

где F_X,Y(x, y)- совместная функция распределения X и Y.

Лит.: [1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [3] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971.
В. Г. Ушаков.