РАЗРЫВНАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА

- задача вариационного исчисления, в к-рой экстремум функционала достигается на ломаной экстремали. Л о м ан а я э к с т р е м а л ь - кусочно гладкое решение Эйлера уравнения, удовлетворяющее в угловых точках нек-рым дополнительным необходимым условиям. Эти условия принимают конкретный вид в зависимости от типа Р. в. з. Так, в Р. в. з. 1-го рода ломаная экстремаль разыскивается при обычных предположениях относительно непрерывности и непрерывной дифференцируемости подинтегральной функции. Для простейшего функционала

(1)

в угловой точке х ₀ ломаной экстремали необходимо выполнение у с л о в и й В е й е р ш т р а с с а - Э р д м а н а

(2)

(3)

В случае, когда Fзависит от пнеизвестных функций, т. е. в (1) есть n-мерный вектор , условия Вейерштрасса - Эрдмана в угловой точке имеют вид, аналогичный (2), (3):

(4)

(5)

Для задач на условный экстремум, в к-рых подинтегральная функция зависит от пнеизвестных функций и имеется m дифференциальных ограничений типа равенства (см. Болъца задача), условия Вейерштрасса-Эрдмана формулируются с помощью функции Лагранжа Lи имеют вид (4), (5) с заменой Fна L.

В терминах теории оптимального управления необходимые условия в угловой точке ломаной экстремали требуют непрерывности сопряженных переменных и функции Гамильтона в точках разрыва оптимального управления. Как следует из Понтрягина принципа максимума, эти условия автоматически выполняются, если управление вдоль ломаной экстремали определяется из условия максимума функции Гамильтона.

В Р. в. з. 2-го рода подинтегральная функция разрывна. Пусть, напр., F( х, у, у').претерпевает разрыв вдоль линии у=j(х).так, что F( х, у, у').соответственно равна F₁( х, у, у').и F₂( х, у, у').по одну и другую сторону от линии у-j(х). Тогда если оптимальное решение существует, то оно достигается на ломаной экстремали, имеющей угловую точку (x₀, j (x₀)) и вместо функционала (1) получают функционал

(6)

Вариация функционала (6) сводится к вариации функционалов J₁ и J₂. на кривых сравнения, имеющих соответственно правый и левый подвижные концы, смещающиеся вдоль линии у=j(х). Для того чтобы ломаная экстремаль доставляла минимум функционалу (6), необходимо, чтобы в угловой точке (х ₀, j (х ₀)).выполнялось условие

(7)

Для случая, когда Fзависит от пнеизвестных функций y=(y₁, . . ., y_n). а поверхность разрыва Fзадана в виде

(8)

необходимые условия в угловой точке ломаной экстремали, находящейся на поверхности (8), принимают вид

(9)

Необходимые условия (7), (9) дают недостающие условия для вычисления произвольных постоянных, определяющих ломаную экстремаль - частное решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям. Действительно, равенства (9) дают пнеобходимых условий, к-рые в совокупности с 2n граничными условиями, n условиями непрерывной стыковки ломаной экстремали в угловой точке и уравнением (8) дают 4n + 1 условий, с помощью к-рых можно определить абсциссу угловой точки х ₀ и 4n произвольных постоянных - по 2n для каждой из экстремалей, лежащих по разные стороны от поверхности (8). Лит.:[1] Г ю н т е р Н. М., Курс , вариационного исчисления, Л,-М., 1941; [2] С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [3] П о н т р я г и н Л. С. [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976.

И. Б. Вапнярский.