ПРОЕКТИВНЫЙ ПРЕДЕЛ

обратный пре-д е л,- конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Наиболее часто используется П. п. семейства однотипных мате-матич. структур, индексированных элементами нек-рого предупорядоченного множества. Пусть I - множество, снабженное отношением предпорядка , и каждому элементу сопоставлено множество X_i, а каждой паре , в к-рой , сопоставлено отображение , причем , - тождественные отображения и j_ijj_jk=j_ik при . Множество X ваз. проективным пределом семейства множеств X_i и отображений j_ij, если выполнены следующие условия: а) существует такое семейство отображений , что p_ij_ij=p_j для любой пары ; б) для любого семейства отображений a_i: YX_i, , произвольного множества Y, для к-рого выполнены равенства a_ij_ij=a_j при , существует такое однозначно определенное отображение , что a_i=ap_i для всех . Конструктивно П. п. можно описать следующим образом: рассматривается прямое произведение и в нем выделяется подмножество всех функций , для к-рых выполняются равенства j_ij(f(i)=f(j) при . Это подмножество является П. п. семейства X_i. Если все X_i снабжены дополнительной однотипной структурой, к-рая переносится на , то эта же структура индуцируется и в П. п. Поэтому можно говорить о П. п. групп, модулей, топологич. пространств и т. д.

Естественным обобщением понятия П. п. является понятие П. п. функтора. Пусть - одноместный ковариантный функтор из малой категории в произвольную категорию . Объект , вместе с морфизмами , наз. проективным пределом (обратным пределом, или просто пределом) функтора F, если выполнены следующие условия: а) p_DF(j)= =p_D' для любого морфизма ; б) для всякого семейства морфизмов , для к-рого a_DF(j) = a_D' при , существует такой единственный морфизм что j_D = ap_D' для любого . Обозначение: lim F=(X,j_D). Аналогично определяется проективный предел контравариантного функтора.

Примеры П. п. 1) Пусть I - дискретная категория. Тогда для произвольного функтора проективный предел функтора Fсовпадает с прямым произведением семейства объектов

2) Пусть - категория с двумя объектами А, В и двумя неединичными морфизмами . Тогда предел любого функтора является ядром пары морфизмов F(a), F(b).

Если в категории существуют произведения любых семейств объектов и ядра пар морфизмов, то в существует предел любого функтора из произвольной малой категории . М . Ш. Цаленко.