- ПРОЕКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ
категории - понятие, формализующее свойства ретрактов (или прямых слагаемых) свободных групп, свободных модулей и т. п. Объект Ркатегории
наз. проективным, если для всякого эпиморфизма 
и произвольного морфизма 
найдется такой морфизм 
, что g=g'v Другими словами, объект Рпроективен, если основной функтор Нр (Х)=Н( Р, X).из 
в категорию множеств 
переводит эпиморфизмы из 
в эпиморфизмы категории 
, т. е. в сюръективные отображения.
Примеры. 1) В категории множеств всякий объект проективен. 2) В категории групп проективны свободные группы и только они. 3) В категории
левых модулей над ассоциативным кольцом L с единицей модуль проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым свободного модуля. Описание колец, над к-рыми всякий проективный модуль свободен, составляет содержание проблемы Серра. 4) В категории 
все модули проективны тогда и только тогда, когда кольцо L классически полупросто. 5) В категории функторов 
из малой категории 
в категорию множеств 
каждый объект проективен тогда и только тогда, когда 
- дискретная категория.
В определении П. о. иногда предполагают, что функтор Н р переводит в сюръективные отображения не все эпиморфизмы, а морфизмы выделенного класса
В частности, если 
- класс допустимых эпиморфизмов бикатегории 
. то Р ваз. допустимым проективным объектом. Напр., в нек-рых многообразиях групп свободные группы этого многообразия являются допустимыми П. о. относительно класса всех сюръективных гомоморфизмов, но не являются П. о., поскольку существуют несюръек-тивные эпиморфизмы.
Дуальным к понятию ГГ. о. является понятие и н ъ-ективного объекта. Фундаментальная роль проективных и ияъективных объектов была выявлена при построении гомологич. алгебры. В категориях модулей всякий модуль представим в виде фактор-модуля проективного модуля. Это свойство позволяет строить т. н. проективные резольвенты и исследовать различные типы гомологич. размерности.
Лит.:[1] К а р т а н А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Маклейн С., Гомология, пер. с англ., М., 1966. М. Ш. Цоленко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
