КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА

- раздел алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов ( идеалов, модулей, нормирований и т. д.). К. а. выросла из задач, возникавших в теории чисел и алгебраич. геометрии. Задачи эти, как правило, относились к конкретным классам колец. Фундаментальным объектом теории чисел является кольцо Zцелых рациональных чисел, и основной факт его арифметики состоит в том, что любое целое число по существу однозначно разлагается в произведение простых чисел. В 30-е гг. 19 в. К. Гауссом (С. Gauss), Э. Куммером (Е. Rummer) и другими была обнаружена связь различных вопросов теории чисел (напр., квадратичные формы, теорема Ферма) с арифметикой квадратичных и круговых расширений поля рациональных чисел Q (см. [И]). Распространению классических рассуждений на кольца алгебраич. чисел препятствовало, однако, то обстоятельство, что разложение на далее неразложимые множители в них перестает быть однозначным (см. Алгебраическая теория чисел). Догадка Э. Куммера состояла в том, что если добавить к обычным числам некие "идеальные" числа (подобно тому, как в проективной геометрии добавляются бесконечно удаленные точки), однозначность разложения сохранится (см. Идеальное число).

Э. Куммеру удалось построить такие "идеальные" числа, или, как сейчас говорят, дивизоры, только для круговых полей; однако его результаты побудили Р. Дедекинда (R. Dedekind) и Л. Кронекера (L. Kronecker) распространить теорию дивизоров на произвольные кольца алгебраич. чисел. В построенной Р. Дедекиндом к 1882 теории была выявлена роль целых элементов поля; но что еще более важно - это появление понятия идеала и простого идеала. Так были заложены основы одномерной К. а.

Параллельно в алгебраич. геометрии происходило формирование многомерной К. а. Алгебраич. геометрия того времени изучала свойства алгебраич. кривых на плоскости, а также более общих алгебраич. многообразий, задаваемых как множество общих нулей нескольких многочленов (различие между аффинными и проективными многообразиями здесь не существенно). То же многообразие Мможно задавать и другими уравнениями, так что более инвариантно с многообразием Мсвязывается идеал U всех многочленов, обращающихся в нуль на М. Это еще один путь, приводящий к понятию идеала. Однако до 1890 алгебраич. основы алгебраич. геометрии находились в зачаточном состоянии. Положение изменилось после опубликования работ Д. Гильберта (D. Hilbert). В 1893 он доказал теорему о нулях (см. Гильберта теорема). Несколько раньше он же установил следующие факты, во многом определившие дальнейшее направление развития К. а.: теорему о базисе (любой идеал в С[ х ₁, . .., х _п]. порождается конечным числом многочленов), теорему о сизигиях и существование Гильберта многочлена для однородного идеала в кольце многочленов.

Опыт работы с алгебраич. многообразиями малой размерности убеждал в том, что они состоят из конечного числа неприводимых подмногообразий, что приводило к алгебраич. задаче о представлении идеала в виде пересечения более просто устроенных идеалов. Эта задача была решена Э. Ласкером (Е. Lasker, см. [4]), к-рый ввел понятие примарного идеала, заменяющего в многомерном случае степень простого идеала, и ассоциированного с ним простого идеала, а также доказал существование примарного разложения произвольного идеала в кольце многочленов. Вопрос об однозначности такого разложения рассматривался Ф. Маколеем (F. Macaulay, 1913). Было установлено, что хотя само примерное разложение и не однозначно, множество ассоциированных с ним простых идеалов определяется однозначно, как и "изолированные" примерные компоненты. Естественное стремление избавиться от неоднозначности примарного разложения побудило Б. Л. Ван дер Вардена (В. L. Van der Waerden, 1931) ввести более грубое отношение эквивалентности для идеалов, чем равенство. Это привело к теории дивизориальных идеалов, или дивизоров, и позволило обобщить теорию Куммера - Дедекинда на более широкий класс колец (см. Крулля кольцо).

Начиная с Л. Кронекера и Э. Ласкера, с простыми идеалами в кольце многочленов связывают их размерность, определяемую пока как степень трансцендентности соответствующего факторкольца; современное комбинаторное определение размерности было предложено В. Круллем (W. Krull) позже. Если все простые идеалы, ассоциированные с идеалом U, имеют одну размерность, то идеал U наз. несмешанным. В кольце многочленов идеалы главного ряда несметаны, или, в современной терминологии, кольцо многочленов является Коэна- Маколея кольцом.

Наконец, ряд своих результатов Э. Ласкер распространил на кольцо сходящихся степенных рядов, рассматривая последнее с алгебраич. точки зрения.

К началу 20 в. были получены результаты, относящиеся к кольцам алгебраич. чисел и многочленов. Здесь же стоит упомянуть о конструктивном направлении, отыскивающем явные алгоритмы для установления принадлежности многочлена нек-рому идеалу. Однако конкретность материала мешала увидеть общие закономерности и связи. Толчком к развитию современной К. а. послужила теория р-адических чисел К. Гензеля (К. Hensel); именно возможность применения классических методов к такому нетрадиционному объекту позволила осознать и выделить общие идеи, применимые к произвольным кольцам (удовлетворяющим тем или иным условиям, напр, условиям конечности). Начинается новый этап - этап абстрактной К. а., систематич. изучение строения различных классов коммутативных колец. Это проявилось уже в работах Э. Нётер (Е. Noetlier). Связав условие конечности базиса для любого идеала с условием максимальности, т. е. с условием обрыва возрастающих цепочек идеалов (кольца с этим условием наз. нётеровыми), она получила в наиболее общем виде теорию примерных разложений Ласкера - Маколея, казавшуюся ранее сугубо вычислительной и громоздкой. Ею было дано также аксиоматич. описание дедекиндовых колец. В то же время Э. Артин (Е. Artin) изучает кольца с условием минимальности - артиновы кольца; X. Грелль (Н. Grell) вводит понятие локализации целостного кольца - операции, обобщенной затем К. Шевалле (С. Chevalley) и А. И. Узковым. В. Крулль доказывает теорему о главном идеале, положившую начало теории размерности нётеровых колец, а также теорему о пересечении степеней идеала в нётеровом кольце, являющуюся основой при изучении -адических топологий. Теория дивизориальных идеалов (1931) и теория нормирования обобщают более ранние исследования К. Гензеля и А. Островского (A. Ostrowski). Наконец, следует упомянуть теорему Нётер о нормализации, выяснение роли понятия целой зависимости в рамках общей теории коммутативных колец, а также теоремы Крулля о подъеме простых идеалов для целых расширений.

Новое направление открыла работа В. Крулля о локальных кольцах[7]. Так называются кольца, имеющие единственный максимальный идеал; примером может служить кольцо ростков аналитич. функций на комплексном многообразии. В абстрактном случае к локальным кольцам приводят операции локализации и пополнения, а также операция перехода к Гензеля кольцу. В. Крулль развил теорию размерности локальных колец и ввел понятие регулярного локального кольца, соответствующего геометрич. понятию неособой точки многообразия. В 40-е гг. 20 в. интенсивно развивается локальная алгебра и ее алгебро-геометрич. приложения. Локальное кольцо снабжается естественной топологией; это позволяет использовать операцию пополнения и сравнивать свойства кольца и его пополнения. Устанавливается, что для колец алгебраич. геометрии (геометрич. кольца) пе, реход к пополнению сохраняет ряд важных свойств. Вместе с исследованиями о конечности целого замыкания это сформировалось в целое направление теории колец (см. Превосходное кольцо). В 1946 И. С. Коэн (I. S. Cohen) описал структуру полных локальных колец. Другое направление связано с обоснованием теории пересечений. Развивая идеи В. Крулля, П. Самюэль (P. Samuel) вводит понятие градуированного кольца, связанного с локальным кольцом, возрождает характеристич. функции Гильберта, приводящие к еще одному определению размерности локального кольца, определяет кратность идеала.

Последующее развитие идей К. а. связано с гомологич. методами, функториальным подходом и дальнейшей геометризацией. Этому способствовала восходящая к Р. Дедекинду и Э. Нётер тенденция к линеаризации К. а., в соответствии с к-рой идеалы кольца рассматриваются как частный случай модулей. Последние являются обобщением векторных пространств и в геометрич. представлении соответствуют понятию . семейства векторных пространств. К модулям применимы обычные конструкции линейной алгебры - прямой суммы, модуля гомоморфизмов, тензорного произведения. Плодотворность такого более широкого взгляда видна уже из возможности применять резольвенты, а вместе с ними и гомологич. алгебру, сформировавшуюся к 50-м гг. 20 в. и представляющую далеко идущее обобщение теории сизигий. Это привлекло внимание к модулям специального вида (см. Проективный модуль, Инъективный модуль, Плоский модуль). Изучение любого класса колец тесно связано с изучением модулей над ними (см. Гомологическая классификация колец). Серьезное продвижение было достигнуто в локальной алгебре: Ж. П. Серр (J.-P. Serre) охарактеризовал регулярные кольца как кольца конечной гомологич. размерности и установил Tor-формулу для кратности пересечений, М. Ауслендер и Д. А. Буксбаум (М. Auslander, D. A. Buchsbaum) доказали факториальность регулярного локального кольца. Началось изучение функторов Ext и Тог, связанных с гомоморфизмами и тензорными произведениями модулей, Горенштейна колец и колец Коэна - Маколея, допускающих гомологпч. описание, чисел Бетти локальных колец.

Другая особенность современной К. а.- функториальный подход, проявляющийся в изучении свойств не изолированного кольца или модуля, а целой системы таких объектов, связанных между собой морфизмами. Замена базисного кольца, теория спуска, изучение различных функториальных конструкций - все это отражение упомянутой тенденции. Так, напр., сохранение многих свойств при локализации и пополнении связано с плоскостностью соответствующего расширения.

Третья особенность - геометризация. Она соответствует взгляду (естественному в алгебраич. геометрии и функциональном анализе) на элементы кольца как на функции на нек-ром пространстве. В качестве такого пространства предлагалось брать сначала множество максимальных идеалов кольца, а затем множество всех простых идеалов, снабженное Зариского топологией (простой спектр кольца). В частности, появилась возможность использовать теорию пучков и их когомологий. К. а. становится составной частью алгебраич. геометрии, значительно расширившей благодаря этому свои рамки и возможности. Напр., появилась возможность использовать и интерпретировать в геометрич. терминах кольца с делителями нуля и нильпотентными элементами. В свою очередь геометрич. методы оживили те направления К. а., к-рые можно назвать глобальной К. а. К ним относятся инвариантов теория, алгебраическая К-теория, когомологич. образования ( Пикара группа, Брауэра группа и др.), изучение группы автоморфизмов и различных инвариантов колец, теория разрешения особенностей и т. д. Однако здесь уже стираются грани между К. а. и алгебраич. геометрией.

Лит.:[1] Кummеr Е., "J. reine und angew. Math.", 1847, Bd 35, S. 319-26; [2] Dedekind R., Gesammelte mathematische Werke, Bd 3, Braunschweig, 1932; [3] Hilbert D., Gesammelte Abhandlungen, Bd 2, В., 1933; [4] Lasker E., "Math. Ann.", 1905, Bd 60, S. 20-116; [5] Noether E., "Math. Ann.", 1921, Bd 83, S. 24-66; [6] ee же, там же, 1926, Bd 96, S. 26-61; [7] Krull W., "J. reine und angew. Math.", 1938, Bd 179, S. 204-26; [8] Серр Ж.-П., "Математика", 1963, т. 7, в. 5, с. 3-93; [9] Ван - дер - Варден Б. Л., Современная алгебра, т. 2, пер. с нем., М.- Л., 1947; [10] Krull W., Idealtheorie, В., 1935; [11] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [12] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. 1-2, пер. с англ., М., 1963; [13] Nagata M., Local rings, N. Y., 1962; [14] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [15] Kaplansky I., Commutative rings, Boston, 1970.

В. И. Данилов.