ДВУМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ КРИВИЗНЫ

ДВУМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ КРИВИЗНЫ

- метрическое пространство, являющееся двумерным многообразием с внутренней метрикой, для к-рого определены аналоги таких понятий двумерной римановой геометрии, как длина и интегральная кривизна кривой, площадь и интегральная гауссова кривизна множества.

Частным случаем Д. м. о. к. являются двумерные римановы пространства и поверхности многогранников в трехмерном евклидовом пространстве. В общем случае класс Д. м. о. к. может рассматриваться как замыкание класса двумерных римановых многообразий относительно надлежащих предельных переходов.

Пусть М- двумерное риманово многообразие, К(х)- гауссова кривизна Мв точке х; а (Е)- площадь множества для кривизна:

абсолютная кривизна:

положительная часть кривизны множества Е:

где К +(x) = max {0, К(х)}. Если х и у- две точки риманова пространства М, то r( х, у)- нижняя грань длин кривых на М, соединяющих точки хи у. Функция р является внутренней метрикой. Она наз. естественной метрикой риманова пространства М.

Пусть М- произвольное двумерное многообразие с метрикой r. Говорят, что метрика r - риманова, если многообразие М, наделенное метрикой r, изометрично нек-рому двумерному риманову пространству, снабженному его естественной метрикой.

Двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р есть Д. м. о. к., если выполнено следующее условие. Существует последовательность римановых метрик rn, n=1, 2, . . ., определенных на многообразии М, такая, что для всякого компактного множества будет равномерно (т. е. функции rn( х, у )сходятся к функции r( х, у )равномерно на множестве ) и последовательность |w п|. (A), n=1, 2, .. ., ограничена, где |w п| - абсолютная кривизна римановой метрики рД. Д. м. о. к. может быть определено аксиоматически.

В части достаточности условия данного здесь определения Д. м. о. к. могут быть ослаблены. Именно, двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р будет Д. м. о. к., если для всякой его точки можно указать окрестности Uи V, где и последовательность римановых метрик r п, n=1, 2, ..., определенных на Uтаким образом, что равномерно на V, и последовательность {w п+(V)} ограничена.

Для всякого Д. м. о. к. определены вполне аддитивные функции множества s(Е)и w(Е)- площадь и, соответственно, кривизна множества. В отличие от риманова случая, w(Е)может и не быть абсолютно непрерывна от. <носительно s(Е). В Д. м. о. к. определено понятие поворота кривой - аналог понятия интегральной геодезич. кривизны кривой.

Всякая выпуклая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве есть Д. м. о. к. В этом случае кривизна множества всегда неотрицательна.

Д. м. о. к. допускают особенности типа конич. точек р(для таких точек w({р} )отлично от нуля), ребер, границы основания цилиндра и т. д.

Лит.:[1] Александров А. Д., Залгаллер В. А., Двумерные многообразия ограниченной кривизны, М.-Л., 1962; [2] Двумерные многообразия ограниченной кривизны, ч. 2, М.-Л., 1965 (Тр. Матем. ин-та АН СССР. т. 76).

Ю. Г. Решетняк.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "ДВУМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ КРИВИЗНЫ" в других словарях:

  • РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННОЕ — пространство с внутренней метрикой, подчиненное нек рым ограничениям на кривизну. К ним относятся пространства с кривизной, ограниченной сверху , и др. (см. [3]). Р. п. о. отличаются от римановых пространств не только большей общностью, но и тем …   Математическая энциклопедия

  • ПЛОЩАДЬ — численная характеристика, приписываемая плоским фигурам определенного класса (напр., многоугольникам) и обладающая следующими свойствами: 1) П. неотрицательна; 2) П. аддитивна (в случае многоугольников это означает, что если фигура составлена из… …   Математическая энциклопедия

  • ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, изучающий те свойства поверхности и фигур на ней, к рые зависят лишь от длин кривых, лежащих на поверхности, и тем самым могут быть определены без обращения к объемлющему пространству. К В. г. регулярных поверхностей относятся… …   Математическая энциклопедия

  • ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО — (в геометрии и физике) общий термин для обозначения неравенства 4pV<F2 между площадью Vи периметром Fплоской области, для разнообразных его обобщений и для других неравенств между геометрия, характеристиками фигур, множеств, многообразий. К И …   Математическая энциклопедия

  • МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, у к рой средняя кривизна Нравна нулю во всех точках. Первые исследования о М. п. восходят к Ж. Лагранжу (J. Lagrange, 1768), к рый рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный… …   Математическая энциклопедия

  • ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ — погружение k мерного метрич. многообразия М к в n мерное риманово пространство V, в виде k мерной поверхности Ф, при к ром расстояние между любыми двумя точками на М k совпадает с расстоянием между их образами, измеренным по поверхности Ф в… …   Математическая энциклопедия

  • Риманова геометрия —         многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка… …   Большая советская энциклопедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»