Эллиптические функции это:

Эллиптические функции
        функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (См. Эллиптические интегралы). Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.
         Подобно тому как тригонометрическая функция u = sinx является обратной по отношению к интегралу
         так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода
         так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода
        
         где z = sin φω, k — модуль эллиптического интеграла, порождает функции: φ = am z — амплитуда z (эта функция не является Э. ф.) и ω = sn z = sin (am z)синус амплитуды. Функции cnкосинус амплитуды и dn z — дельта амплитуды определяются формулами
        
        
         Функции sn z, cn z, dn z называют Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением
         sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1.
         На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением
         sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1
         На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби для действительного x и 0 < k < 1; а
        
        — полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4K — основной период Э. ф. sn z. В отличие от однопериодической функции sin х, функция sn z — двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK, где
        
         и дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э. ф. Якоби приведены в таблице, где m и n — любые целые числа.
        
        ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
        | Функции                   | Периоды                        | Нули                                    | Полюсы                          |
        |----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
        | sn z                          | 4Km + 2iK'n                    | 2mK + 2iK'n                                                                 |
        |-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| }2mK + (2n + 1) iK'           |
        | cn z                          | 4+ (2K + 2iK'n            | (2m + 1) K + 2iK'n                 |                                        |
        |-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|                                        |
        | dn z                          | 2Km + 4iK'n                    | (2m + 1) K + (2n + 1) iK         |                                        |
        ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
        
         Э. ф. Вейерштрасса ℙ(х) может быть определена как обратная нормальному эллиптическому интегралу Вейерштрасса 1-го рода
        
         где параметры g2 и g2 — называются инвариантами ℙ(x). При этом предполагается, что нули e1, e2 и e3 многочлена 4t3g2t — g3 различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Э. ф. Вейерштрасса ℙ(х) связана с Э. ф. Якоби следующими соотношениями:
        
        
        
         Любая мероморфная двоякопериодическая функция f (z) с периодами ω1 и ω2, отношение которых мнимо, т. е. f (z + mω1 + пω2) = f (z) при m, n = 0, ±1, ±2,... и Сигма-функции и Тэта-функции.
         Изучению Э. ф. предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое изложение теории которых дал А. Лежандр. Основоположниками теории Э. ф. являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Э. ф., названное его именем. В 1847 Ж. Лиувилль опубликовал изложение основ общей теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Э. ф. через ℙ-функцию, а также ζ-, σ-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Э. ф.).
         Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; Уиттекер Э, Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, пер. с англ., М., 1967.
        Рис. к ст. Эллиптические функции.
        Рис. к ст. Эллиптические функции.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Эллиптические функции" в других словарях:

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (более строгое определение см. ниже). Подобно тому как простейшая тригонометрич. ф ция и=sinx является обратной по отношению к интегралу так одна из Э. ф. Якоби u =sn(x; k) =snx является… …   Физическая энциклопедия

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — Особый класс функций в интегральном исчислении при интегрировании радикальных функций 4 й и 3 й степеней. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ особый класс трансцендентальных… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, связанные с интегралами, содержащими квадратные корни из многочленов 3 й или 4 й степеней (появляются, напр., при вычислении длины дуги эллипса) …   Большой Энциклопедический словарь

  • Эллиптические функции — В комплексном анализе эллиптическая функция периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период). Исторически,… …   Википедия

  • эллиптические функции — функции, связанные с интегралами, содержащими квадратные корни из многочленов 3 й или 4 й степеней (появляются, например, при вычислении длины дуги эллипса). * * * ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции, связанные с интегралами,… …   Энциклопедический словарь

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, связанные с интегралами, содержащими квадратные корни из многочленов 3 й или 4 й степеней (появляются, напр., при вычислении длины дуги эллипса) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — ф ции, связанные с интегралами, содержащими квадратные корни из многочленов 3 й или 4 й степеней (появляются, напр., при вычислении длины дуги эллипса) …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Эллиптические функции Якоби — Эллиптические функции Якоби  это набор основных эллиптических функций комплексного переменного, и вспомогательных тэта функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют… …   Википедия

  • Эллиптические функции Вейерштрасса — Эллиптические функции Вейерштрасса  одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют функциями Вейерштрасса, и используют для их… …   Википедия

  • ЯКОБИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — эллиптические функции, возникшие при непосредственном обращении эллиптических интегралов в нормальной форме Лежандра. Эта задача обращения была решена в 1827 независимо К. Якоби (С. Jacobi) и, в несколько иной форме, Н. Абелем (N. Abel).… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Эллиптические функции» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»