Сигма-функции

        целые Трансцендентные функции, введённые К. Вейерштрассом при построении им своей теории эллиптических функций. Основной из четырёх С.-ф. является функция

        

         где ω = 2mω₁ + 2nω₂, ω₁ и ω₂ — два числа, отношение которых не является вещественным, а m и n независимо друг от друга пробегают все положительные и отрицательные целые числа, кроме m = n = 0. Функция σ(z) имеет простые нули при z = ω, т. е. в вершинах параллелограммов, образующих правильную решётку на плоскости z; эти параллелограммы получаются из основного параллелограмма с вершинами в точках 0, 2ω₁, 2ω₂, 2 (ω₁ + ω₂) параллельными переносами вдоль его сторон.

         При помощи функции σ(z) могут быть определены дзета-функция ξ(z) и эллиптическая функция ℙ(z) Вейерштрасса:

        

        ,

         Обозначим ω₃ = - ω₁ - ω₂, ξ(ω_k) = η_k, k =1, 2, 3.

         Формулы

        

        , k = 1, 2, выражают свойство квазипериодичности функции σ(z). Равенства

        

        , k = 1, 2, 3,

         определяют остальные три С.-ф. Имеем σ(0) = 0, σ_k (0) = 1, k = 1, 2, 3. Функция σ(z) является нечётной, а три остальные С.-ф. — чётные.

         Любая эллиптическая функция (См. Эллиптические функции) f (z) с периодами 2ω₁ и 2ω₂ может быть рационально выражена через С.-ф. по формуле

        

        ,

         где С — постоянная, a₁,..., c_r и b₁,..., b_r — соответственно полные системы нулей и полюсов функции f (z), удовлетворяющие условию a₁ +... + a_r = b₁ +... + b_r.

         С.-ф. тесно связаны с тэта-функциями (См. Тэта-функции).

         Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. [с нем.], М., 1968; Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.