Сигма-функции это:

Сигма-функции
        целые Трансцендентные функции, введённые К. Вейерштрассом при построении им своей теории эллиптических функций. Основной из четырёх С.-ф. является функция
        
         где ω = 2mω1 + 2nω2, ω1 и ω2 — два числа, отношение которых не является вещественным, а m и n независимо друг от друга пробегают все положительные и отрицательные целые числа, кроме m = n = 0. Функция σ(z) имеет простые нули при z = ω, т. е. в вершинах параллелограммов, образующих правильную решётку на плоскости z; эти параллелограммы получаются из основного параллелограмма с вершинами в точках 0, 2ω1, 2ω2, 2 (ω1 + ω2) параллельными переносами вдоль его сторон.
         При помощи функции σ(z) могут быть определены дзета-функция ξ(z) и эллиптическая функция ℙ(z) Вейерштрасса:
        
        ,
         Обозначим ω3 = - ω1 - ω2, ξ(ωk) = ηk, k =1, 2, 3.
         Формулы
        
        , k = 1, 2, выражают свойство квазипериодичности функции σ(z). Равенства
        
        , k = 1, 2, 3,
         определяют остальные три С.-ф. Имеем σ(0) = 0, σk (0) = 1, k = 1, 2, 3. Функция σ(z) является нечётной, а три остальные С.-ф. — чётные.
         Любая эллиптическая функция (См. Эллиптические функции) f (z) с периодами 2ω1 и 2ω2 может быть рационально выражена через С.-ф. по формуле
        ,
        ,
         где С — постоянная, a1,..., cr и b1,..., br — соответственно полные системы нулей и полюсов функции f (z), удовлетворяющие условию a1 +... + ar = b1 +... + br.
         С.-ф. тесно связаны с тэта-функциями (См. Тэта-функции).
         Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. [с нем.], М., 1968; Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Сигма-функции" в других словарях:

  • Сигма-алгебра — σ алгебра (сигма алгебра)  алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей. Содержание 1 Определение 2 Замечания …   Википедия

  • Эллиптические функции —         функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (См. Эллиптические интегралы). Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.          Подобно тому… …   Большая советская энциклопедия

  • ВЕИЕРШТРАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — ф>тнкции, положенные К. Вейерштрассом в основу его общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 на лекциях в Берлинском университете (см. [1], [2]). В отличие от более раннего построения теории эллиптич. функций, связанного с… …   Математическая энциклопедия

  • Борелевы функции — Борелевская сигма алгебра это минимальная сигма алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (впрочем, она содержит и все замкнутые). Если не оговорено противное, в качестве топологического пространства выступает… …   Википедия

  • Порядок целой функции — Целая функция функция, голоморфная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей… …   Википедия

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (более строгое определение см. ниже). Подобно тому как простейшая тригонометрич. ф ция и=sinx является обратной по отношению к интегралу так одна из Э. ф. Якоби u =sn(x; k) =snx является… …   Физическая энциклопедия

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — в собственном смысле двоякопериодическая функция, мероморфная в конечной плоскости комплексного переменного г. Э. ф. обладают следующими основными свойствами. Не существует целых Э. ф., кроме констант (теорема Лиувилля). Пусть примитивные периоды …   Математическая энциклопедия

  • ДЕЛЬТА АМПЛИТУДЫ — одна из трех основных Якоби эллиптических функций. Обозначается Д. а. следующим образом выражается через сигма функции Вейерштрасса, тета функции Якоби или при помощи ряда тде k модуль Д. a., v=u/2w, 2w=pJ32 (0). При k=0,1 соответственно См.… …   Математическая энциклопедия

  • КОСИНУС АМПЛИТУДЫ — эллиптический косинус, одна из трех основных Якоби эллиптических функций, обозначаемая К. а. выражается следующим образом через сигма функции Вейерштрасса, тета функции Якоби или с помощью степенного ряда: где k модуль эллиптической функции, .… …   Математическая энциклопедия

  • Старение (биология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Старение. Старая женщина. Анн Поудер 8 апреля 1917 года в свой 110 й день рождения. Сморщенная и сухая кожа  типичный признак старения человека …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»