- Кумулятивная функция распределения
-
Кумуляти́вная фу́нкция распределе́ния (или просто функция распределения) в теории вероятностей однозначно задаёт распределение случайной величины или случайного вектора.
Содержание
Определение
Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина X с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины X называется функция , задаваемая формулой:
- .
Свойства
- FX не убывает на всей числовой прямой.
- FX непрерывна справа.
- .
- .
- Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.
- Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения.
- По определению непрерывности справа, функция FX имеет правый предел FX(x + ) в любой точке , и он совпадает со значением функции FX(x) в этой точке.
- В силу неубывания, функция FX также имеет и левый предел FX(x − ) в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция FX либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.
Тождества
Из свойств вероятности следует, что , таких что a < b:
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Дискретные распределения
Если случайная величина X дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности
- ,
то функция распределения FX этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
- .
Эта функция непрерывна в любой точке , такой что , и имеет разрыв, равный pi, в x = xi.
Непрерывные распределения
Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения FX. В этом случае:
- ,
и
- ,
а следовательно формулы имеют вид:
- ,
где | a,b | означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.
Абсолютно непрерывные распределения
Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция fX(x), такая что:
- .
Функция fX называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и более того если , то , и
- .
Вариации и обобщения
Многомерные функции распределения
Пусть фиксированное вероятностное пространство, и — случайный вектор. Тогда распределение является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:
- ,
где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.
Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для n > 1.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.