- Теорема Монтеля о компактном семействе функций
-
Теорема Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций или принцип компактности:
Пусть
― бесконечное семейство голоморфных функций в области
комплексной плоскости
; тогда для того чтобы это семейство было предкомпактным, то есть чтобы из любой последовательности
можно было выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри
, необходимо и достаточно, чтобы семейство было равномерно ограничено внутри
.
Теорема Монтеля обобщается на областив пространстве
,
.
Теорема Монтеля есть следствие теоремы Арцела-Асколи, оценок на производные аналитической функции (неравенства Коши) и сепарабельности всякой области в
.
Следствия
- Следствием теоремы Монтеля является следующий факт: Если область
компактно лежит в области
, тогда оператор ограничения на область D функций, голоморфных в G, компактен (в топологии локально-равномерной сходимости функций).
- Теорема Монтеля используется при доказательстве теоремы Римана о конформном отображении (нужное конформное отображение ищется как то, которое максимизирует модуль производной в некоторой точке, а существование такого отображения следует из непрерывности этого функционала и компактности семейства функций со значениями в единичном круге).
Категории:- Комплексный анализ
- Теоремы
- Следствием теоремы Монтеля является следующий факт: Если область
Wikimedia Foundation. 2010.