- Конечная группа
-
Конечная группа — алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1.
Несмотря на относительную простоту конечных групп, их полной теории создать не удалось. Лучше всего исследованы группы, порядок которых — простое число или степень простого числа (простые, или p-группы), проведена их полная классификация.
Конечные группы широко используются как в математике, так и в других науках: топология, криптография, кристаллография, атомная физика, теория орнаментов и др. Они тесно связаны с симметрией исследуемых объектов.
Содержание
Примеры
- Аддитивная группа классов вычетов по модулю n.
- Мультипликативная группа корней n-й степени из единицы, изоморфная предыдущей группе.
- Приведённая система вычетов по модулю m, порядок которой равен (функция Эйлера).
- Некоммутативная группа из 8 кватернионных единиц: .
- Симметрическая группа (группа подстановок) , её порядок равен и при она некоммутативна.
- Четверная группа Клейна.
Свойства и связанные определения
Порядок элемента g конечной группы G — минимальное натуральное число m такое, что . Порядок определён для каждого элемента конечной группы; порядок единичного элемента считается равным нулю.
Теорема Лагранжа: порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.
- Следствие 1: порядок любого элемента конечной группы — делитель порядок группы.
- Следствие 2: любой элемент g конечной группы порядка n удовлетворяет соотношению:
Пример для приведённой системы вычетов: теорема Эйлера в теории чисел.
Частное от деления порядка группы на порядок подгруппы называется индексом этой подгруппы и обозначается . Например, в вышеприведенной группе кватернионных единиц (порядка 8) есть подгруппа порядка 2 и индекса 4, а также подгруппа порядка 4 и индекса 2.
Смежные классы и фактор-группа
Пусть H — подгруппа порядка m в конечной группе G порядка n. Будем считать элементы эквивалентными по подгруппе H, если существует такое, что Легко проверить, что это отношение эквивалентности в группе G. Оно разбивает группу на непересекающиеся классы эквивалентности, называемыми (левыми) смежными классами, все они содержат по m элементов, число классов равно индексу подгруппы. Каждый элемент входит в смежный класс , образованный всевозможными произведениями g на элементы подгруппы H.
Если подгруппа H является нормальным делителем, то можно перенести групповую операцию на множество смежных классов, определив:
Результат такой операции не зависит от выбора представителей и превращает множество смежных классов в группу, называемую фактор-группой. Она обозначается . Порядок фактор-группы равен индексу соответствующей подгруппы.
Классификация
Конечные циклические группы
Наиболее простую структуру имеют конечные циклические группы, все элементы которых можно представить как последовательные степени некоторого фиксированного элемента
- (n — порядок группы).
Элемент a называется образующим (или первообразным) для данной группы. Количество образующих элементов для группы порядка n равно (функция Эйлера). Пример: группа корней из единицы.
Циклические группы всегда коммутативны (абелевы). Другие свойства:
- Любая конечная циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов . Отсюда вытекает, что, с точностью до изоморфизма, существует только одна конечная циклическая группа данного порядка.
- Группа порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней существует элемент того же порядка n.
- Циклическая группа имеет нетривиальные подгруппы тогда и только тогда, когда её порядок является составным числом.
- Любая подгруппа циклической группы тоже циклична. Циклической будет и всякая фактор-группа циклической группы G/H.
- Не всякая коммутативная конечная группа является циклической. Простейший контрпример: четверная группа Клейна.
Группы с простым порядком (p-группы)
Пусть порядок группы — простое число p, тогда имеют место следующие свойства.
- Группа является циклической.
- Группа коммутативна (абелева) и нильпотентна.
- Все группы одного и того же порядка p изоморфны друг другу.
Более общим и более сложным является случай, когда порядок группы — степень простого числа; такие группы принято называть p-группами. См. их общую классификацию.
Коммутативные (абелевы) группы
Основная теорема (Фробениус): всякая коммутативная конечная группа может быть представлена как прямая сумма p-групп. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.
Количество различных групп заданного порядка
Большой практический интерес представляет задача определить, сколько различных групп имеет заданный порядок n (изоморфные группы не различаются) и сколько из этих групп коммутативны.
Порядок группы Число групп[1] Коммутативных Некоммутативных 1 1 1 0 2 1 1 0 3 1 1 0 4 2 2 0 5 1 1 0 6 2 1 1 7 1 1 0 8 5 3 2 9 2 2 0 10 2 1 1 11 1 1 0 12 5 2 3 13 1 1 0 14 2 1 1 15 1 1 0 16 14 5 9 17 1 1 0 18 5 2 3 19 1 1 0 20 5 2 3 21 2 1 1 22 2 1 1 23 1 1 0 24 15 3 12 25 2 2 0 См. также
- Бесконечная группа
- Действие группы
- Классификация простых конечных групп
- Конечно определённая группа
- Локально конечная группа
- Представление группы
- Теоремы Силова
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
- Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. — Мир, 1985.
- Конечная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
- Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
Ссылки
- Finite Group на Wolfram Math World. (англ.)
Примечания
- ↑ John F. Humphreys, A Course in Group Theory, Oxford University Press, 1996, pp. 238-242.
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.