ГРУППА СУСЛОВИЕМ КОНЕЧНОСТИ

группа, элементы или подгруппы к-рой удовлетворяют тому или иному условию конечности. Под условием конечности в теории групп понимается любое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существуют бесконечные группы, к-рые им не обладают. Наиболее важными в теоретико-групповых исследованиях являются следующие условия конечности: конечность убывающих цепей подгрупп (условие минимальности для подгрупп, см. Артинова группа), конечность возрастающих цепей подгрупп (условие максимальности для подгрупп, см. Нётерова группа), конечная порож-денность, конечность порядков элементов (периодичность), конечность конечно порожденных подгрупп (локальная конечность, см. Локально конечная группа), конечность ранга, конечность классов сопряженных элементов.

Систематич. изучение Г. <с у. к. началось в 1939-40 (см. [1]) с исследования локально нильпотентных и локально разрешимых групп с условием минимальности для подгрупп, в результате к-рого было установлено, что бесконечные группы такого рода являются конечными расширениями прямых произведений конечного числа квазициклич. групп. Вопрос о справедливости утверждения этой теоремы для произвольной бесконечной группы с условием минимальности для подгрупп в общем случае пока (1977) не решен. В предположении локальной конечности он решен положительно [5]. Изучение групп с условием минимальности обогатило теорию групп важными результатами. Само условие минимальности подвергалось при этом существенным ограничениям: налагалось не на все подгруппы, а лишь на подгруппы, удовлетворяющие тем пли иным дополнительным требованиям (инвариантность, абелевость, конечность индекса, примарность и пр.). Исследование групп с условием максимальности оказалось менее продуктивным, чем исследование групп с условием минимальности. Разрешимые группы с условием максимальности - это полициклич. группы. В разрешимых группах условие максимальности для подгрупп эквивалентно условию максимальности для абелевых подгрупп [4]. Аналогичный результат установлен н для условия минимальности в локально разрешимых группах. Условие максимальности для подгрупп эквивалентно условию конечной норожденности группы и всех ее подгрупп. Для нильпотентных групп оно эквивалентно конечной порожденности самой группы.

Группа имеет конечный ранг, если минимальное число образующих элементов в каждой ее конечно порожденной подгруппе не превосходит нек-рого фиксированного числа. Это условие конечности было широко использовано при изучении разрешимых групп и локально нильпотентных групп. Было установлено, в частности, что если все абелевы подгруппы локально нильпотентной группы без кручения имеют конечный ранг, то конечный ранг имеет и вся группа [4].

Ряд существенных результатов дало исследование групп с конечными классами сопряженных элементов. Наиболее изученными среди них оказались слойно конечные группы, т. е. группы с конечными множествами элементов каждого порядка. Их изучение доведено по существу до полного описания их строения. Из этого описания вытекает, в частности, что класс слопно конечных групп совпадает с классом локально нормальных групп, удовлетворяющих условию минимальности для примерных подгрупп.

Лит.:[1] Черников С. Н.. "Успехи матем. наук", 1959, т. 14, № 5(89), с. 45-Й6; [2] Rоbinsоn D. J. S., Finitenessconditions and generalized soluble croups, p. 1,2, В.- Held.-N. Y., 1972; [3] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [41 Мальцев А. И., "Матем. сб.", 1951, т. 28 (70), № 3, с. 567-88; [5] Шунков В. П., "Алгебра и логика". 1970, т. 9, № 5, с. 579-615. С. Н. Черников.