Квантовая теория теплоёмкостей Дебая

В термодинамике и физике твёрдого тела модель Дебая — метод развитый Дебаем в 1912 г. для оценки фононного вклада в теплоёмкость твёрдых тел. Модель Дебая рассматривает колебания кристаллической решётки как газ квазичастиц — фононов. Эта модель правильно предсказывает теплоёмкость при низких температурах, которая пропорциональна T³. В пределе высоких температур теплоёмкость стремится к 3R, согласно закону Дюлонга — Пти.

При тепловом равновесии энергия E набора осцилляторов с различными частотами $\omega_\bold{K}$ равна сумме их энергий:

$E = \sum_\bold{K}{\langle n_\bold{K} \rangle \hbar \omega_\bold{K}} = \int{d\omega D(\omega) n(\omega) \hbar \omega}$

где D(ω) — число мод нормальных колебаний на единицу длины интервала частот, n(ω) — количество осцилляторов в твёрдом теле, колеблющихся с частотой ω.

Функция плотности D(ω) в трёхмерном случае имеет вид:

$D(\omega)=\frac{V\omega^2}{2\pi^2 v^3}$

где V — объём твёрдого тела, v — скорость звука в нём.

Значение квантовых чисел вычисляются по формуле Планка:

$n=\frac{1}{e^\frac{\hbar \omega}{k_BT}-1}$

Тогда энергия запишется в виде

$E = \int\limits_0^{\omega_D}{d\omega\left(\frac{\omega^2V}{2\pi^2v^3}\right)\left(\frac{\hbar\omega}{e^\frac{\hbar\omega}{k_BT}-1}\right)}$

$\frac{U}{Nk_B} = 9T \left({T\over T_D}\right)^3\int\limits_0^{T_D/T}{x^3\over e^x-1}\, dx$

где T_D — температура Дебая, N — число атомов в твёрдом теле, k_B — постоянная Больцмана.

Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре получим:

$\frac{c_v}{Nk_B} = 9 \left({T\over T_D}\right)^3\int\limits_0^{T_D/T}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}\, dx$

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2005. — 616 с. — («Теоретическая физика», том V). — ISBN 5-9221-0054-8