Закон нуля и единицы

Зако́н нуля́ и́ли едини́цы — утверждение в теории вероятностей о том, что всякое остаточное событие, то есть событие, наступление которого определяется лишь сколь угодно удалёнными элементами последовательности независимых случайных событий или случайных величин, имеет вероятность нуль или единица.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ и определённая на нём последовательность независимых случайных величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$. Пусть $\mathcal{F}_{\infty}$ — её остаточная σ-алгебра. Тогда если $A \in \mathcal{F}_{\infty}$, то $\mathbb{P}(A) = 0$ или $\mathbb{P}(A) = 1$.

Пример

Пусть $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ последовательность независимых случайных величин. Тогда ряд

$\sum\limits_{n=1}^\infty X_n$

сходится или расходится почти наверное.

См. также

• Лемма Бореля — Кантелли;
• Теорема о бесконечных обезьянах.