Задача Каратеодори — Фейера

Теорема Каратеодори — Фейера:

Пусть

$P(z)=~c_0+~c_1 z+\ldots +c_{n-1}z^{n-1}$

многочлен, $P\not \equiv 0$. Существует единственная рациональная функция

$R(z)=R(z,~c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1})$

вида

$R(z)=\lambda {\bar{\alpha}_{n-1}+\bar{\alpha}_{n-2}+\ldots +\bar{\alpha}_{0}z^{n-1} \over \alpha_0+\alpha_1z+\ldots+\alpha_{n-1}z^{n-1}},\ \lambda > 0,$

регулярная в $\left| z \right| \leqslant 1$ и имеющая в своём разложении в ряд Маклорена n первых коэффициентов, равных соответственно $c_0,~c_1, \ldots ,~c_{n-1}$. Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение

$M_f = \sup_{\left| z \right| < 1} \left| f(z) \right|$

в классе всех регулярных в круге $\left| z \right| < 1$ функций f(z) вида

$f(z)=P(z)+~a_n z^{n}+\ldots,$

и указанное наименьшее значение равно

$\lambda = \lambda(c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1})$

Число $\lambda(c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1})$ равно наибольшему положительному корню уравнения 2n-й степени

$\begin{vmatrix} -\lambda & 0 & \ldots & 0 & c_0 & c_1 & \ldots & c_{n-1} \\ 0 & -\lambda & \ldots & 0 & 0 & c_0 & \ldots & c_{n-2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & -\lambda & 0 & 0 & \ldots & c_0 \\ \bar{c_0} & 0 & \ldots & 0 & -\lambda & 0 & \ldots & 0 \\ \bar{c_1} & \bar{c_0} & \ldots & 0 & 0 & -\lambda & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \bar{c}_{n-1} & \bar{c}_{n-2} & \ldots & \bar{c}_0 & 0 & 0 & \ldots & -\lambda \end{vmatrix}$

Если $c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1}$ — действительные числа, то $\lambda(c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1})$ являются наибольшим из абсолютных значений корней уравнения $~n$-й степени

$\begin{vmatrix} -\lambda & 0 & \ldots & 0 & c_0 \\ 0 & -\lambda & \ldots & c_0 & c_1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ c_0 & c_1 & \ldots & c_{n-1} & -\lambda \end{vmatrix} = 0$

Литература

• Carathéodory C., Fejer L. Rend. Circolo mat. Palermo, — 1911, v. 32, p. 218—239.
• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., — М., 1966.