- Локальная топологическая группа
-
Локальная топологическая группа — топологическая группа, в которой групповые операции определены лишь для элементов, достаточно близких к единице. Введение локальных топологических групп было инспирировано изучением локальной структуры топологических групп (то есть их структуры в сколь угодно малой окрестности единицы).
Примером локальной топологической группы может служить любая окрестность единицы топологической группы . В теории локальных топологических групп принципиальным является вопрос о том, насколько общий характер имеет этот пример, то есть является ли всякая локальная топологическая группа локально изоморфной некоторой топологической группе. В общем случае ответ отрицателен, но в важном частном случае конечномерных локальных групп Ли — положителен.
Как и в теории топологических групп, в теории локальных топологических групп можно определить понятия (локальных) подгрупп, нормальных делителей, смежных классов, факторгрупп.
Определение
Пусть
— топологическое пространство,
— некоторый его элемент,
и
— некоторые открытые подмножества в
и
соответственно,
и
,
— некоторые непрерывные отображения. Тогда система
является локальной топологической группой, если выполнены условия:
и
для любого
и
;
- если
и
, то
;
и
для любого
и
.
Обычно локальную топологическую группу
обозначают просто через
; элемент
обозначают через
и называется произведением
и
; элемент
обозначают через
и называется обратным к
; элемент е называется единицей локальной топологической группы
. Если
, то говорят, что произведение
и
определено; если
, то говорят, что для
определен обратный элемент.
Эти (определенные не для любых элементов) операции на
индуцируют структуру локальной топологической группы на любой окрестности единицы
в
.
Связанные определения
Пусть
и
— две локальные топологические группы
Локальным гомоморфизмом
в
называется, такое непрерывное отображение
некоторой окрестности
единицы
локальной топологической группы
в некоторую окрестность
единицы
локальной топологической группы
, что
и для любых элементов
, произведение которых в
определено, произведение элементов
и
в
также определено и
. Два локальных гомоморфизма
в
называют эквивалентными, если они совпадают в некоторой окрестности единицы локальной топологической группы
. Пусть локальный гомоморфизм
является гомеоморфизмом окрестностей
и
, а обратное отображение
является локальным гомоморфизмом
в
. Тогда h называется локальным изоморфизмом
в
. Две локальных топологических групп между которыми существует локальный изоморфизм, называются локально изоморфными. Например, любая локальная топологическая группа локально изоморфна любой своей окрестности единицы.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Проставить интервики в рамках проекта Интервики.
- Викифицировать статью.
- Добавить иллюстрации.
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.