VaR

Value at Risk (VaR) — стоимостная мера риска. Распространено общепринятое во всем мире обозначение «VaR». Это выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью. Еще называется показателем "16:15" ибо это время в которое он должен был быть на столе у главы правления банка J.P.Morgan. В этом банке показатель VaR и был впервые введен в обиход с целью повышения эффективности работы с рисками.

VaR характеризуется тремя параметрами:

• Временной горизонт, который зависит от рассматриваемой ситуации. По базельским документам - 10 дней, по методике Risk Metrics - 1 день. Чаще распространен расчет с временным горизонтом 1 день. 10 дней используется для расчета величины капитала, покрывающего возможные убытки.
• Доверительный интервал (confidence level) - уровень допустимого риска. По базельским документам используется величина 99%, в системе RiskMetrics - 95%.
• Базовая валюта, в которой измеряется показатель.

VaR - это величина убытков, которая с вероятностью, равной уровню доверия (например, 99%), не будет превышена. Следовательно, в 1% случаев убыток составит величину, большую чем VaR.

Проще говоря, вычисление величины VaR проводится с целью заключения утверждения подобного типа: “Мы уверены на X% (с вероятностью X/100), что наши потери не превысят Y долларов в течение следующих N дней”. В данном предложении неизвестная величина Y и есть VaR.

• индекс $\ _i$ означает "доходность актива i" (for σ и μ) и "актива i" (в остальных случаях)
• индекс $\ _p$ означает "доходность портфеля" (for σ и μ) и "портфеля" (в остальных случаях)
• все доходности вычисляются для выбранного периода
• имеется N активов
• μ - ожидаемая доходность, т.е. средняя величина доходности
• σ - стандартное отклонение
• V - текущее значение (в денежных единицах)
• $\omega_i \ = \ V_i \ / \ V_p$
• $\boldsymbol{\omega}$ - вектор, состоящий из всех ω_i (T означает транспонирование)
• $\boldsymbol{\Sigma}$ - ковариационная матрица - матрица ковариаций для N доходностей активов, т.е. NxN матрица

Имеем

(i) $\mu_p\ = \sum_{i=1}^N \omega_i \mu_i,$

(ii) $\sigma_p\ = \sqrt{\boldsymbol{\omega}^T \boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{\omega}}$

Предположение о нормальности распределения доходностей позволяет нам вычислить z-уровень для данного доверительного уровня, так для 95% доверительного уровня имеем:

(iii) $\ VaR \ = \ - \ V_p \ ( -\mu_p \ + \ 1.645 \sigma_p \ )$, где 1.645 - квантиль нормального распределения для вероятности в 95%.

См. также

Волатильность