Теорема Бёрнсайда

Теорема Бёрнсайда утверждает, что если группа $G$ конечна, и порядок её равен

$p^a q^b,$

где $p$ и $q$ — простые числа, тогда $G$ — разрешима. Следствие: каждая неабелевая конечная простая группа имеет порядок, делящийся на три различных простых числа.

История

Теорема была доказана Вильямом Бёрнсайдом в начале XX века. Теорема Бёрнсайда долгое время была наиболее известным приложением теории представлений к теории групп, хотя доказательство без использования характеров группы было опубликовано Голдсмитом уже в 1970 году.

Схема доказательства Бёрнсайда

1. Используя математическую индукцию, достаточно доказать, что простая группа $G$ данного порядка — абелева.
2. По теореме Силова, группа $G$ имеет либо нетривиальный центр, либо класс сопряженности размера $p^r$ для некоторого $r\geqslant 1$. В первом случае, поскольку центр является нормальной подгруппой группы $G$, она должна совпадать с центром, а значит являться абелевой. Значит верен второй случай — существует элемент $x$ группы $G$, такой что класс сопряжённости элемента $x$ имеет размер $p^r>1$.
3. Используя свойства ортогональности характеров группы и свойства алгебраических чисел, можно доказать существование нетривиального неприводимого характера $\chi$ группы $G$ такого, что $|\chi(x)|=\chi(1)$.
4. Из простоты группы $G$ следует, что любое комплексное неприводимое представление характера $\chi$ верно (или точно), и отсюда следует, что $x$ принадлежит центру группы $G$, что противоречит тому, что размер класса сопряжённости больше 1.

Литература

1. James, Gordon; and Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2 издание.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. Глава 31.
2. Fraleigh, John B. (2002) A First Course in Abstract Algebra (7 издание). Addison Wesley. ISBN 0-201-33596-4.