Санкт-Петербургский парадокс

Санкт-Петербургский парадокс — парадокс, иллюстрирующий расхождение математического ожидания выигрыша с его «здравой» оценкой людьми.

Формулировка парадокса

Рассматривается следующая задача. Вступая в игру, игрок платит некоторую сумму, а затем подбрасывает монету (вероятность каждого исхода — 50 %), пока не выпадет орёл. При выпадении орла игра заканчивается, а игрок получает выигрыш, рассчитанный по следующим правилам. Если орёл выпал при первом броске, игрок получает 2⁰, при втором броске — 2¹ и так далее: при n-ном броске — 2^n-1. Другими словами, выигрыш возрастает от броска к броску вдвое, пробегая по степеням двойки — 1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее.

Нужно определить, какой размер вступительного взноса делает такую игру справедливой, то есть найти математическое ожидание выигрыша игрока. Парадокс заключается в том, что вычисленное значение этого справедливого взноса равно бесконечности, то есть выше любого возможного выигрыша.

Разрешение парадокса

Разрешение через ограничения реального мира

Приведём оценки для решений парадокса через ограничение количества игр и времени.

Вероятность того, что в определённой игре количество бросков превысит некоторое n, равна 1/2ⁿ. Пусть игрок может сыграть не более k игр. Тогда вероятность того, что количество бросков хотя бы в одной игре превысит n, равна 1-(1-1/2ⁿ)^k. Для больших n она приближённо равна k/2ⁿ. Будем считать, что событие, имеющее вероятность меньше некоторого p, не произойдёт никогда. Тогда «реальное» количество бросков не превышает log₂(k/p). При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:

$1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4}+...+2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{n}{2},$ где $n=\log_2 \frac{k}{p}.$

То есть, средний выигрыш равен $\frac{1}{2} \log_2 \frac{k}{p}.$

Для 1000 игр и p=10^-6 получаем средний выигрыш около 15.

Разрешение через функцию полезности

Другой вариант разрешения — через функцию полезности денег. Рассматривая выпуклую функцию предельной полезности (часто — логарифмическую), мы снова достигаем конечность её математического ожидания (англ.).^{[источник не указан 1309 дней]}

Так, если считать, что для игрока важно увеличение не на некоторое кол-во денег, а в некоторое кол-во раз, то он оценивает выигрыш с точки зрения логарифмической функции полезности: он хочет максимизировать $\ln{\frac{X}{X_0}}$, где X — выигрыш, а $X_0$ — вклад в игру. При этом в классической постановке парадокса мат. ожидание полезности становится конечным:

$M \ln{\frac{X}{X_0}} = \sum_{i=1}^\infty \left(\ln\frac{2^i}{X_0}\right) 2^{-i} = \ln 4-\ln X_0$

Откуда легко получить справедливую стоимость игры: $X_0=4$.

Это решение можно усовершенствовать, рассматривая полезность выигрыша с точки зрения увеличения уже имеющегося капитала игрока w (миллиардеру прирост в $ 1000 не так желателен, как нищему), однако это лишь немного изменяет ответ.

При этом можно так изменить систему выплат, что и данное решение будет неприемлемо: для каждой неограниченной функции полезности существует такая последовательность выплат за выпадение орла на i-том шаге, что ожидаемая полезность тоже будет равна бесконечности.

История возникновения

Парадокс был впервые опубликован Даниилом Бернулли в «Комментариях Санкт-Петербургской Академии»^[1]. Ранее ситуация была описана племянником Даниила, Николаем I Бернулли, в его переписке с французским математиком Пьером Монмором (Pierre Rémond de Montmort).

Иногда авторство парадокса приписывают Леонарду Эйлеру^[2], а название связывают с тем, что Эйлер длительное время жил и работал в Петербурге.

Примечания

1. ↑ Краткая биография Бернулли
2. ↑ Новые грани Санкт-Петербургского парадокса

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Викифицировать статью.