Квадратичная функция

$f(x) = x^2 - x - 2\!$

Квадратичная функция — функция, которую можно задать формулой вида $f(x)=ax^2+bx+c~$, где $a \neq 0~$.

График

$f(x) = ax^2 |_{a=\{0.1,0.3,1,3\}} \!$

$f(x) = x^2 + bx |_{b=\{1,2,3,4\}} \!$

$f(x) = x^2 + bx |_{b=\{-1,-2,-3,-4\}} \!$

График квадратичной функции называется параболой.

В общем виде уравнение квадратичной функции записывается так: $y=ax^{2}+bx+c$. Координаты вершины параболы: $(x_{0}; y_{0}), x_{0}=-\frac{b}{2a}, y_0{}=-\frac{D}{4a}~$.

Прямая $x=-\frac{b}{2a}~$ является осью симметрии графика квадратичной функции.

При $a<0~$ ветви параболы направлены вниз, при $a>0~$ — вверх.

Свойства графика квадратичной функции

Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле $D=b^2-4ac~$

Свойства квадратичной функции при x равному $a>0~$ (цветом выделены свойства при $a<0~$):

Свойство	Дискриминант
	$D>0~$	$D=0~$	$D<0~$
Область определения	$D(f)=R~$
Множество значений при a>0	$E(f)=[-\frac{D}{4a};+\mathcal{1})~$
Множество значений при a<0	$E(f)=(-\mathcal{1};-\frac{D}{4a}]$
Нули функции	$x_{1,2}=\frac {-b \pm \sqrt D} {2a}~$	$x= -\frac {b} {2a}~$	$\empty~$
Положительные (отрицательные) значения	$(-\mathcal{1};x_1)\cup(x_2;+\mathcal{1})~$	Везде, кроме точки$-\frac{b}{2a}~$	Везде
Отрицательные (положительные) значения	$(x_1;x_2)~$	Отсутствуют
Промежуток убывания (возрастания) , если а>0	$(-\mathcal{1};-\frac{b}{2a}]~$
Промежуток возрастания (убывания) , если a>0	$[-\frac{b}{2a};+\mathcal{1})~$
Минимальное (максимальное) значение	$f(x)_{min}=-\frac{D}{4a}~$

Примеры появления на практике

• Зависимость высоты свободно падающего тела от времени.
• Зависимость площади фигуры от её линейных размеров (например, площади круга от радиуса).

См. также

• Квадратное уравнение
• Афинно-квадратичная функция
• Список математических функций

Ссылки

• Свойства квадратичной функции
• Свойства квадратичной функции