Интеграл Фейнмана

Формулой Фейнмана называется представление решения задачи Коши для уравнения Шредингера с помощью предела интегралов по декартовым степеням конфигурационного или фазового пространства, когда кратность интегралов стремится к бесконечности; так же называются и представления решений других эволюционных уравнений с помощью пределов каких-либо кратных интегралов. В случае уравнения Шредингера эти пределы интерпретируются как интегралы (Фейнмана) по (псевдо)мерам Фейнмана на траекториях в конфигурационном или фазовом пространстве; для уравнения теплопроводности такие пределы совпадают с интегралами по гауссовским или близким к ним мерам на траекториях в конфигурационном пространстве; в случае уравнений, возникающих при квантовании систем Гамильтона–Дирака (описывающих калибровочные поля), аналогичные пределы совпадают с интегралами по траекториям в суперпространстве. Представления решений эволюционных уравнений интегралами по траекториям называются формулами Фейнмана–Каца; таким образом, формулы Фейнмана–Каца являются следствиями формул Фейнмана. В докладе предполагается рассмотреть как концептуальные, так и вычислительные аспекты математической теории интегралов Фейнмана. В частности, будут приведены представления решений классических уравнений Шредингера интегралами по траекториям в фазовом пространстве и представления решений уравнений теплопроводности и Шредингера на римановых многообразиях интегралами по траекториям в этих многообразиях. Оказывается, что в последнем случае скалярная и средняя кривизны многообразия играют (с точностью до некоторых коэффициентов, способ вычисления которых рассматривается в докладе) роль потенциалов. В обоих случаях существенно используется формула Чернова (Chernoff), являющаяся обобщением известной формулы Троттера. Обсуждаются также интегралы по поверхностям в римановых многообразиях, связанные с полевыми задачами, и рандомизированные интегралы Фейнмана, используемые в представлениях решений стохастических уравнений Шредингера–Белавкина (описывающих непрерывные квнтовые измерения). Некоторые из перечисленных результатов получены совместно с Х. фон Вайцзекером (H. von Weizsacker) и О. Виттихом (O. Wittich).