Фазовый интеграл

Фазовый интеграл

Фазовый интеграл (англ. Phase Integral) — один из фундаментальных интегралов квантовой механики, впервые предложенный Фейнманом в начале 60-х годов XX века. Подобно интегралу по траекториям, этот интеграл позволяет находить смещение фазы, обусловленное влиянием какого-то поля. Например, влияние магнитного поля на движение квантовой частицы[1] приводит к смещению фазы:

\Delta \varphi_H = \frac{e}{\hbar c}\int_{S}^{} (\mathbf{A},\;d\mathbf{l}),

где e — заряд электрона, c  — скорость света в вакууме, \hbar — приведенная постоянная Планка, \mathbf{A} — векторный потенциал магнитного поля (в системе СИ измеряется в вольтах) и d\mathbf{l}  — элемент траектории движения частицы.

Содержание

Дифференциальное изменение фазы

На практике более интересен случай не интегрального изменения фазы, когда учитывается абсолютное значение векторного потенциала A (а значит и магнитного поля B), а дифференциального изменения фазы. Дело в том, что в первом случае при больших значениях амплитуды потенциала A мы будем иметь и большое значение изменения фазы, что не столь интересно как дифференциальный случай, когда фаза изменяется на величину, близкую к 2\pi. Например, в интеренферометрии более важно не абсолютное значение параметра, а дифференциальное, что собственно и приводит к этому явлению. В квантовых антиточках Голдмана при измерении осцилляций проводимости также более существенно дифференциальное значение магнитного поля \Delta B. Поэтому возникает тривиальная задача нахождения дифференциального изменения фазы \delta(\Delta\varphi_H) при наличии периодичности магнитного поля с периодом \Delta B (а значит и \Delta A). В этом случае общий фазовый интеграл Фейнмана можно переписать в форме:

\delta(\Delta\varphi_H)=\frac{e}{\hbar c}\delta\int_S(\mathbf{A},\;d\mathbf{l})=\frac{e}{\hbar c}\Delta A\cdot\Delta S,

где \Delta S=2\pi\Delta l_B — длина контура обхода, обусловленного периодичностью \Delta B, а \Delta l_B=\sqrt{\frac{\hbar}{e\Delta B}} — магнитная длина, обусловленная периодичностью \Delta B. Таким образом, находим дифференциальное изменение фазы в форме:

\delta(\Delta\varphi_H)=\frac{2\pi}{c}\frac{e}{\hbar}\frac{\Delta A}{\sqrt{\Delta B}}=2\pi f_\mathrm{ph}.

Конечно нас более интересует безразмерное число, или так называемый фазовый фактор обхода контура, созданного периодичностью магнитного поля \Delta B:

f_\mathrm{ph}=\frac{1}{2\pi}\delta(\Delta\varphi_H)=k_\mathrm{ph}\frac{\Delta A}{\sqrt{\Delta B}},

где k_\mathrm{ph}=\frac{1}{c}\sqrt{\frac{e}{\hbar}}=0{,}130\;015\;34 Тл1/2В−1 — фазовая константа, которая зависит только от фундаментальных констант. Основная проблема, что осталась, состоит в том, что на практике достаточно легко измерять только магнитное поле \Delta B, а потенциал \Delta A находится только путём расчетов при определенных допущениях.

Изменение фазы в «квантовой антиточке»

Ситуация кардинально изменилась с экспериментальной разработкой «квантовых антиточек» Голдманом и построением на их основе «квантовых интерферометров». Дело в том, что во всех экспериментах по исследованию квантового эффекта Холла всегда присутствует не только магнитное поле B, но и электрическое поле E, но оно практически не учитывалось. И только в экспериментах Годмана впервые начался учет электрического поля и контролировалась его квантизация. Конечно, само электрическое поле, направленное вдоль магнитного поля, непосредственно не измеряется. Обычно измеряется напряжение управления на гетеропереходе V_\mathrm{bg}, а зная толщину гетероперехода, можно вычислить электрическое поле и электрическую индукцию (учитывая диэлектрическую проницаемость полупроводника). Основным результатом экспериментов Голдмана является то, что и магнитное поле \Delta B, и электрическое поле \Delta V_\mathrm{bg} квантуются коррелированно одно с другим (см. рисунки в публикациях Голдмана).

Не менее очевидно, что и магнитный потенциал \Delta A должен коррелировать определенным образом с изменением электрического поля \Delta V_\mathrm{bg}. Размерности магнитного потенциала совпадают с размерностью напряжения на затворе (вольты!), поэтому вполне справедливо допустить что они равны по величине:

\Delta A=\Delta V_\mathrm{bg}.

Результаты обработки нескольких статей Голдмана, посвященных квантовым интерферометрам, представлены в следующей таблице:

Фазовый фактор обхода контура, созданного периодичностью электромагнитного поля
\Delta B, Тл \Delta V_\mathrm{bg}, В \Delta B/\Delta V_\mathrm{bg}, Тл/B f_\mathrm{ph} [f_\mathrm{ph}] f рисунок источник
2{,}118\cdot 10^{-2} 0,882 2{,}401\cdot 10^{-2} 0,788 4/5 2/5 Fig. 10 Goldman [1]
2{,}79\cdot 10^{-3} 0,325 8{,}585\cdot 10^{-3} 0,800 4/5 1 Fig. 2.a, c Goldman [2]
1{,}428\cdot 10^{-3} 0,3421 4{,}174\cdot 10^{-3} 1,177 6/5 2 Fig. 2.b, d Goldman [2]
2{,}00\cdot 10^{-2} 0,882 2{,}267\cdot 10^{-2} 0,811 4/5 2/5 Fig. 3 Goldman [2]
2{,}00\cdot 10^{-2} 0,882 2{,}267\cdot 10^{-2} 0,811 4/5 2/5 Fig. 2 Goldman [3]
2{,}692\cdot 10^{-3} 0,1154 2{,}333\cdot 10^{-2} 0,289 1/3 1/3 Fig. 3.b Goldman [4]
2{,}351\cdot 10^{-3} 0,3143 7{,}480\cdot 10^{-3} 0,841 4/5 1 Fig. 3.a Goldman [4]
2{,}692\cdot 10^{-3} 0,1308 2{,}058\cdot 10^{-2} 0,328 1/3 1/3 Fig. 5.b Goldman [5]
2{,}357\cdot 10^{-3} 0,3214 7{,}334\cdot 10^{-3} 0,861 4/5 1 Fig. 5.a Goldman [5]
2{,}692\cdot 10^{-3} 0,1308 2{,}058\cdot 10^{-2} 0,328 1/3 1/3 Fig. 4.b Goldman [6]
2{,}357\cdot 10^{-3} 0,314 7{,}506\cdot 10^{-3} 0,861 4/5 1 Fig. 4.a Goldman [6]
2{,}615\cdot 10^{-3} 0,11154 2{,}344\cdot 10^{-2} 0,293 1/3 1/3 Fig. 3.b Goldman [7]
2{,}357\cdot 10^{-3} 0,314 7{,}506\cdot 10^{-3} 0,861 4/5 1 Fig. 3.a Goldman [7]
7{,}143\cdot 10^{-4} 0,3846 1{,}857\cdot 10^{-3} 1,871 9/5 4 Fig. 4(5) Goldman [8]
1{,}85\cdot 10^{-3} 0,35 5{,}286\cdot 10^{-3} 1,058 1 2 Fig. 4(5) Goldman [8]
2{,}96\cdot 10^{-3} 0,2077 1{,}425\cdot 10^{-2} 0,496 1/2 1 Fig. 4(5) Goldman [8]

Безусловно, полученный результат впечатляет, поскольку получены те же дробные значения фазы, что и так называемые дробные значения зарядов Голдмана. Следует отметить, что при вычислении зарядов ошибка увеличивается за счет учёта толщины гетероперехода и его диэлектрической проницаемости.[2]

См. также

Литература

  • Давыдов А. С. Квантовая механика. — изд 2-е. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 5-е, исправленное и дополненное. — М.: Наука, 1967. — 460 с. — («Теоретическая физика», том II).
  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — Т. 6. Электродинамика. — М.: Мир, 1966. — 344 с.
  • Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968. — 382 с.
  1. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Realization of a Laughlin quasiparticle interferometer: Observation of fractional statistics. Препринт (2005).
  2. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Aharonov-Bohm Superperiod in a Laughlin Quasiparticle Interferometer // Phys. Rev. Lett. 95, 246802 (2005). Препринт (2005).
  3. Goldman V. J., Camino F. E. and Wei Zhou Realization of a Laughlin Quasiparticle Interferometer: Observation of Anyonic Statistics. CP 850, Low Temperature Physics: 24 International Conference on Low Temperature Physics; edited by Y. Takano, S. P. Herschfeld, and A. M. Goldman. 2006 American Institute of Physics. 0-7354-0347-3/06.
  4. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Primary-Filling e/3 Quasiparticle Interferometer. Препринт (2006).
  5. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Experimental realization of a primary-filling e/3 quasiparticle interferometer. Препринт (2006).
  6. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Experimental realization of Laughlin quasiparticle interferometers. Physica E 40 (2008), 949—953
  7. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. e/3 Laughlin Quasiparticle Primary-Filling 1/3 Interferometer // Phys. Rev. Lett. 98, 076805 (2007).
  8. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Quantum transport in electron Fabry-Perot interferometers». Препринт (2007).

Примечания

  1. Фейнман даже ошибочно называет его уравнением квантового движения под влиянием силы Лоренца. В действительности эту роль исполняет теорема Эренфеста
  2. На первый взгляд может показаться, что полученный результат не зависит от свойств материала, из которого сделана антиточка. Но это не так. Действительно, в формулу для изменения фазы входит период магнитной индукции (\Delta B), измеренный в воздухе (а не в гетеропереходе). И хотя относительная проницаемость воздуха близка к единице, в самом гетеропереходе она может быть другой.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Фазовый интеграл" в других словарях:

  • фазовый интеграл — fazinis integralas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. phase integral vok. Phasenintegral, n rus. фазовый интеграл, m pranc. intégrale de phase, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Интеграл (значения) — Интеграл (см. также Первообразная, Численное интегрирование, Интегрирование по частям) математический оператор: Определённый интеграл Неопределённый интеграл различные определения интегралов: Интеграл расширение понятия суммы Интеграл Ито… …   Википедия

  • Эффект Ааронова — Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. Эффект Ааронова  Бома (иначе эффект Эренберга  Сидая  Ааронова  Бома)  квантовое… …   Википедия

  • Квантовый эффект Холла — Квантовый эффект Холла  эффект квантования холловского сопротивления или проводимости двумерного электронного газа в сильных магнитных полях и при низких температурах. Квантовый эффект Холла (КЭХ) был открыт Клаусом фон Клитцингом (совместно …   Википедия

  • Дробный квантовый эффект Холла — Дробный квантовый эффект Холла  одно из проявлений квантового эффекта Холла, когда при дробных числах заполнения уровней Ландау в двумерном электронном газе на графической зависимости холловского сопротивления от величины магнитной индукции… …   Википедия

  • Альбедо — планет и некоторых карликовых планет солнечной системы Планета Геометрическое альбедо Сферическое альбедо Меркурий 0,106 0,119 Венера 0,65 0,76 Земля 0,367 0,39 Марс 0,15 0,16 Юпитер 0,52 0,343 Сатурн 0,47 0,342 Уран 0,51 0,3 …   Википедия

  • Эффект Ааронова — Бома — (иначе эффект Эренберга Сидая Ааронова Бома) квантовомеханическое явление, в процессе которого на заряженную частицу влияет электромагнитное поле в тех областях, где напряженность (E) и/или индуктивность(B) равны нулю . Самая ранняя форма этого… …   Википедия

  • Фаза Берри — Фаза Берри  фаза, набегающая при прохождении квантовомеханической системой замкнутой траектории в пространстве параметров, когда система подвержена циклическому адиабатическому возмущению. Также называется геометрической фазой[1]… …   Википедия

  • Ааронова — Бома эффект — Эффект Ааронова Бома (иначе эффект Эренберга Сидая Ааронова Бома) квантовомеханическое явление, в процессе которого на заряженную частицу влияет электромагнитное поле в тех областях, где частица не может находиться. Самая ранняя форма этого… …   Википедия

  • Зоммерфельд, Арнольд — Арнольд Зоммерфельд Arnold Sommerfeld Зоммерфельд в …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»