- Нормальное расширение
-
Норма́льное расшире́ние — алгебраическое расширение поля EÉ K для которого каждый неприводимый многочлен f(x) над K, имеющий хотя бы один корень в E, разлагается в E на линейные множители.
Равносильное определение: Если KÌ EÌ K*, где K* — алгебраическое замыкание поля К, то E нормально если любой изоморфизм σ E в алгебраическое замыкание K* над K является автоморфизмом поля E.
Нормальное расширение как поле разложения
Всякое расширение EÉ K является нормальным тогда и только тогда, когда E является полем разложения некоторого множества многочленов из K[x]
Нормальные расширения в соответствии Галуа
Если F — расширение Галуа поля K, а E — какое-нибудь промежуточное подполе KÌ EÌ F, то группа Галуа Gal(F/E) по определению состоит из всех автоморфизмов F, оставляющих элементы E неподвижными. Если σ — какой-нибудь автоморфизм полной группы Галуа Gal(F/K), отображающий E на σ(E) то, очевидно, что
Gal(F/σE)=σGal(F/E)σ-1
Поэтому расширение E нормально тогда и только тогда, когда подгруппа Gal(F/E) является нормальной подгруппой в Gal(F/K) (отсюда и терминология).
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М.: ИЛ, 1963.
- Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1967.
Категории:- Теория полей
- Теория Галуа
Wikimedia Foundation. 2010.