Невязка

Невязка — это ошибка (погрешность) в результате вычислений. Пусть мы хотим найти такое x, что значение функции:

$f(x)=b.\,$

Подставляя приближенное значение x₀ вместо x, получаем невязку

$b - f(x_0)\,$

а ошибка в этом случае равна

$x_0 - x.\,$

Если мы не знаем точного значения x, мы не можем вычислить ошибку, но мы можем вычислить невязку.

Невязка аппроксимации функции

Схожее название используется в дифференциальных, интегральных и функциональных уравнениях.

Для аппроксимации $~f_{\rm a}~$ решения $~f~$ уравнения

$T(f)(x)=g(x)$ ,

невязка может быть функцией

$~g(x)~ - ~T(f_{\rm a})(x)$

или по-другому максимумом нормы разности

$\max_{x\in \mathcal X} |g(x)-T(f_{\rm a})(x)|$ на области $\mathcal X$, где функция

$~f_{\rm a}~$ есть усреднённое решение $~f~$, или некоторый интеграл функции разности, например,

$~\int_{\mathcal X} |g(x)-T(f_{\rm a})(x)|^2~{\rm d} x.$

В большинстве случаев, чем меньше невязка, тем аппроксимированное значение ближе к решению, то есть,

$~\left|\frac{f_{\rm a}(x) - f(x)}{f(x)}\right| \ll 1.~$

В этом случае начальное уравнение принималось за корректное; и невязка могла быть использована как показатель отклонения аппроксимации от точного решения.

Использование невязок

Если точное решение неизвестно, можно использовать аппроксимацию решения с небольшой невязкой.

Невязка фигурирует во многих разделах математики, в том числе в итерационных методах, таких как метод обобщенного минимума, в котором решение системы уравнений находится путём минимизации невязки.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.