Формула Гаусса

В дифференциальной геометрии формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Пусть $\Omega$ — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей $\partial \Omega$. Обозначим через $K$ гауссову кривизну $\Omega$ и через $k_g$ геодезическую кривизну $\partial \Omega$. Тогда

$\int\limits_\Omega K\;d\sigma+\int\limits_{\partial \Omega}k_g\;ds=2\pi\chi(\Omega),$

где $\chi(\Omega)$ — эйлерова характеристика $\Omega$.

В частности, если у $\Omega$ нет границы, получаем

$\int\limits_\Omega K\;d\sigma=2\pi\chi(\Omega)$

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

История

Формулу вывел ещё Гаусс, Бонне опубликовал её только в 1848 году.

Вариации и обобщения

• Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома $P_i$ касательный вектор $\boldsymbol{\tau}$ разворачивается на угол $\phi_i$ в сторону области $\Omega$ (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:

  $\int\limits_{\Omega} K d \sigma + \int_L k_g d s + \sum_i \phi_i = 2 \pi \chi(\Omega)$

  • Для вывода этой формулы область $\Omega$ нужно аппроксимировать областью, которая имеет сглаженные углы. Затем радиус закругления на углах направляем к нулю.

• Формула Гаусса — Бонне допускает обобщения на старшие размерности, см. обобщённая формула Гаусса — Бонне.

См. также

• Формула Гаусса

Ссылки

• С. Е. Степанов, Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, No 9, с. 116—121.