Сложное движение

В физике, при рассмотрении нескольких систем отсчёта (СО) возникает понятие сложного движения — когда материальная точка движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. При этом возникает вопрос о связи движений точки в этих двух системах отсчета (далее СО).

Геометрия задачи

Рис.1 Материальная точка в двух СО ^[1].

Обычно выбирают одну из СО за базовую («абсолютную», «лабораторную», «неподвижную», "СО неподвижного наблюдателя, «первую», «нештрихованную» и т. п.), другую называют «подвижной» («СО подвижного наблюдателя», «штрихованную» «вторую» и т. п.) и вводят следующие термины:

• абсолютное движение — это движение точки/тела в базовой СО.
• относительное движение — это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта.
• переносное движение — это движение подвижной системы отсчета относительно базовой системы отсчета.

^[2] Также вводятся понятия соответствующих скоростей и ускорений. Например, переносная скорость — это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой.

С точки зрения только чистой кинематики (задачи пересчета кинематических величин — координат, скоростей, ускорений — от одной системы отсчета к другой), являющейся в сущности предметом просто математического анализа, не имеет значения, является ли какая-то из систем отсчета инерциальной или нет; это никак не сказывается на формулах преобразования кинематических величин при переходе от одной системы отсчета к другой (то есть эти формулы можно применять и для перехода от одной произвольной неинерциальной вращающейся системы отсчета к другой).

Однако для динамики инерциальные системы отсчета (или, для практики, системы отсчета, которые можно в достаточно хорошем приближении считать инерциальными) имеют выделенное значение: в них динамические уравнения имеют гораздо более простую запись и обычно (именно поэтому) формулируются изначально именно для инерциальных систем отсчета. Поэтому особенно важны случаи перехода от инерциальной системы отсчета к другой инерциальной, а также от инерциальной к неинерциальной и обратно; последнее позволяет кроме прочего получить при желании и динамические уравнения в виде, верном для неинерциальной системы отсчета, исходя из их простой (изначальной) формулировки, сделанной для инерциальных систем отсчета.

В дальнейшем изложении, по умолчанию, для тех случаев, когда это существенно, базовая СО предполагается инерциальной, а на подвижную никаких ограничений не накладывается.

Классическая механика

Кинематика сложного движения точки

Путь

Основная статья: Траектория материальной точки

Представлен изменением радиуса вектора, рассматриваемого в виде суммы векторов переносного и относительного движений

$\vec r = \vec R + \vec {r'}$ (1)

Скорость

Основная статья: Теорема о сложении скоростей

Основные задачи кинематики сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть:

$\vec V_r = \vec V_R + \vec V _{r^ \prime}$

или

$\frac{d\vec r}{dt} = \frac{d(\vec R + \vec {r'})}{dt} = \frac{d\vec R}{dt} + \frac{d\vec{r'}}{dt}$.

Ускорение

Основная статья: Сила инерции

Связь ускорений можно найти путём дифференцирования связи для скоростей, не забывая, что координатные векторы подвижной системы координат также могут зависеть от времени.

Положение материального тела в условно неподвижной и инерциальной системе задаётся здесь вектором $\vec r$, а в неинерциальной системе — вектором $\vec r'$. Положение начала координат второй системы отсчета в первой системе отсчета определяется вектором $\vec R$. Угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной задаётся вектором $\vec\omega$. Линейная относительная скорость тела по отношению к неинерциальной (вращающейся) системе отсчета ( считая ее при этом неподвижной ) задаётся вектором $\vec {V}_r' \equiv d\vec {r'}/dt$.

Тогда ускорение $\vec {a_r} \equiv d^2\vec r/dt^2$ в инерциальной системе отсчета будет равно сумме:

$\vec a_r = \frac{d^2 \vec {R} }{dt^2} \ \ + \ \ \frac{d \vec \omega}{dt}\times \vec {r'} \ \ + \vec\omega \times \left[ \vec\omega \times \vec {r'} \right] +\ \ {2\ \vec \omega \times \vec {V}_r'} \ \ + \ \ \vec{a}_{r'}$

• Здесь первый член — переносное поступательное ускорение второй системы относительно первой,

• второй член — переносное вращательное ускорение второй системы, возникающее из-за неравномерности ее вращения.

• третий член представляет собой вектор, противоположно направленный осестремительной составляющей $\vec{r^\prime_n}$ вектора $\vec{r^\prime}$, перпендикулярной $\vec \omega$ (что можно получить, рассматривая это двойное векторное произведение - оно равно $- \vec{r^\prime_n}\omega^2$) и потому представляет собой осестремительное ускорение (оно совпадает с нормальным переносным ускорением той точки вращающейся системы , с которой в данный момент совпадает движущаяся точка, не путать с нормальным ускорением движущейся точки , направленным по нормали к ее траектории ).

• сумма первых трех членов называется переносным ускорением .

• четвертый член есть Кориолисово ускорение, порождаемое взаимным влиянием переносного вращательного движения второй системы отсчета и относительного поступательного движения точки относительно ее.

• последний член  $\vec{a}_{r'} = \frac{ \stackrel{~}{d_r} \vec {V}_r' } {dt}$  — ускорение точки относительно второй системы отсчета ( считая ее неподвижной ).

Кинематика сложного движения тела

Рис.2 Траектории одного и того же движения в разных системах отсчёта. Вверху в инерциальной системе дырявое ведро с краской несут на колосниках по прямой над поворачивающейся театральной сценой. Внизу в неинерциальной (след от краски для стоящего на сцене наблюдателя)

Кинематика движения, основанная на анализе траектории движущегося тела в общем случае не даёт полной информации для классификации этих движений. Так, движение по прямой в неинерциальной системе отсчёта может быть криволинейным (и, следовательно, обусловленным действующими на тело силами) в инерциальной СО. И, наоборот, прямолинейное в инерциальной СО может быть криволинейным (См. Рис.2) в не инерциальной, и, следовательно, провоцировать представление о якобы действующих на тело силах.

Согласно Первому закону Ньютона все виды движений при их рассмотрении в инерциальной системе координат могут быть отнесены к одной из двух категорий. А именно — к категории прямолинейных и равномерных (то есть имеющих постоянную скорость) движений, возможных исключительно при отсутствии нескомпенсированных сил, действующих на тело.

Рис.3 Сложное поступательное движение тела в трёхмерном пространстве

Нередко встречающееся, даже в справочной литературе^[2] , отнесение этого вида движений к категории поступательных движений противоречит определению понятия «Поступательное движение», поскольку движение, имеющее классификационный признак поступательного, в инерциальной системе может происходить по любой траектории, но не обязательно исключительно по прямой (См. Рис.3).

К другой категории относятся все остальные виды движений.

Для твёрдого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными, абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. В общем случае движение будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений.

Рассчитать взаимосвязь скоростей разных точек твёрдого тела в разных системах отсчёта можно с помощью комбинирования формулы сложения скоростей и формулы Эйлера для связи скоростей точек твёрдого тела. Связь ускорений находится простым дифференцированием полученного векторного равенства по времени.

Динамика сложного движения точки

Рис.4 Реальное ослабление напряжённости гравитационного поля земли ${g < g_0}$ под действием фиктивной силы инерции (центробежной силы), создающей ускорение $a$. Чертёж относится к неинерциальной СО, связанной с поверхностью вращающейся Земли. (Picture by ^[3], ^[4])

Концепция Ньютона о пропорциональности получаемого телом ускорения под действием любой силы выполняется всегда. Альтернатив этой концепции в классическом разделе материалистической физики нет. Однако при рассмотрении движений в неинерциальной системе отсчёта, наряду с силами, происхождение которых можно проследить как результата взаимодействия с другими телами и полями, невозможно не учитывать и силы инерции, имеющие место в системе отсчёта вследствие её неинерциальности. Нередко эти силы называют фиктивными, но не по причине их отсутствия в действительности, а по причине их происхождения. ^[5]

Однако по Ньютону все силы проявляют себя одинаково (механически) и их происхождение в формулировке законов никак не отражено.^[6]

Примером вполне реальной фиктивной силы инерции является широтный эффект ослабления силы тяжести по мере приближения к экватору, который отражается, например, на замедлении хода маятниковых часов.(Рис.4)

Сила Кориолиса, вызывающая неодинаковость размыва берегов рек, текущих в меридиональном направлении, также есть фиктивная сила инерции ^[7]

Релятивистская механика

Скорость

При скоростях, близких к скорости света, преобразования Галилея не являются точно инвариантными и классическая формула сложения скоростей перестаёт выполняться. Вместо этого, инвариантными являются преобразования Лоренца, а связь скоростей в двух инерциальных СО получается следующей: $v_x' = \frac{v_x - u}{1-(v_x u)/c^2}, v_y' = \frac{v_y \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-(v_x u)/c^2}, v_z' = \frac{v_z \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-(v_x u)/c^2},$

в предположении, что скорость $\vec u$ направлена вдоль оси х системы S. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Однако вводится величина — быстрота — которая аддитивна при переходе от одной СО к другой.

Неинерциальные СО

Связь скоростей и ускорений в системах отсчёта, движущихся друг относительно друга ускоренно, является значительно более сложной и определяется локальными свойствами пространства в рассматриваемых точках (зависит от производной тензора Римана).

Литература

• Н. Г. Четаев. «Теоретическая механика». М.: Наука. 1987. 368 с.
• М. М. Гернет. «Курс теоретической механики». М.: Высшая школа. 1973. 464 с.

Примечания

1. ↑ Бронштейн Илья Николаевич и Семендяев Константин Адольфович. Справочник по математике. М.: Издательство «Наука». Редакция справочной физико-математической литературы.,1964 г., 608 стр.с ил. Стр.216 и далее.
2. ↑ ^{1 2} Физический энциклопедический словарь/ Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред.кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич,А. С. Боровик-Романов и др. -М.: Сов.энциклопедия, 1983.-323 с.,ил, 2 л.цв.ил.
3. ↑ Klaus Lüders, Gerhard von Oppen. Lehrbuch der Experimentalphysic. Band I. 12 völlig bearbeitete Auflage. Walter de Gruyter. Berlin. New York. 2008. ISBN 978-3-11-019311-4, page 108
4. ↑ Китайгородский А. И. Введение в физику. М:Изд.-во «Наука», гл.ред.физико-математической литературы.1973.
5. ↑ С. Э. Хайкин. Силы инерции и невесомость. М.,1967 г. Издательство «Наука».Главная редакция физико-математической литературы.
6. ↑ Просто надо учитывать все силы, действующие на тело, независимо от системы отсчёта, и проблем не будет. Существование искусственного вычислительного приёма, основанного на введении действительно не существующих фиктивных сил при изучении движения, обусловленного реально несуществующими абсолютно жёсткими связями в данной Лагранжем формулировке принципа Даламбера, не является убедительным аргументом для прекращения пользования ремнями безопасности на транспорте
7. ↑ И её отнесение к категории фиктивных (в смысле введённых формально для выполнения неких расчётов) следует отнести к числу не поддающихся удалению предрассудков.

См. также

• Относительность
• Поступательное движение
• Вращательное движение
• Плоскопараллельное движение
• Сферическое движение

Иллюстрации

• Вращение твёрдых тела в невесомости