Нётерово кольцо

Нётерово кольцо́ (по имени Э.Нётер) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей: Всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец — левых идеалов) $p_1\subset p_2\subset\dots\subset p_n\subset \dots$ стабилизируется, то есть $p_n=p_{n+1}=\dots$ начиная с некоторого $n$.

Примеры

• Простейший пример нётерова кольца — это кольцо главных идеалов (КГИ). Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем. Однако, не всякое нётерово кольцо является КГИ. Например, кольцо многочленов многих переменных над полем нётерово, но не КГИ.

Связанные определения

• Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получим определение т. н. артинова кольца.

Свойства

• Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда в любом непустом множестве идеалов A существует максимальный элемент.
• Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда любой идеал p конечно порождён.
• Теорема Гильберта о базисе: для любого нётерова кольца A кольцо многочленов $A[x]$ нётерово.
  • В частности, $A[x_1, \ldots, x_n]$ тоже нётерово.
• В коммутативных нётеровых кольцах верна теорема Ласкера — Нётер, что любой идеал A допускает примарное разложение.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, — М.: Мир, 1972.
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра, — М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра, — М.: Мир, 1968.

См. также

• Топология Зарисского