Задача Фараона

Рисунок к задаче

Задача Фараона или Колодец Лотоса — одна из задач занимательной математики^[1]. Задача была сформулирована в 8 веке до н. э. Эта математическая задача — прародитель «неразрешимых задач», таких, как «трисекция угла», «удвоение куба» (Задача Дельфийского Оракула) и «квадратура круга».

В дальнейшем был найден математический метод решения задачи. Ответом является иррациональное алгебраическое число, которое является корнем уравнения 8 степени.

Условие

В круглом колодце налита вода на одну единицу длины. Две разновеликие тростинки, с длиной 2 и 3 единицы соответственно, одними концами упираются в дно колодца, а другими концами опираются на его стены. Тростинки пересекаются на уровне налитой в колодец воды. Какова ширина (диаметр) колодца?

Современная формулировка: На дно колодца опустили две палки длиной 2 м и 3 м так, что они пересекаются. Расстояние от их пересечения до дна составляет 1 м. Найти диаметр основания.

Решение

Решением этой задачи занимались ведущие математики прошлого. Задача, несмотря на простую формулировку, точным образом решается сложно.

Легко свести задачу к нахождению положительного корня уравнения $\frac{1}{\sqrt{9-d^2}}+\frac{1}{\sqrt{4-d^2}}=1$. Далее любой подстановкой, снижающей степень (например, $d^2=t+6{,}5$) уравнение преобразуется к уравнению четвёртой степени, которое решается, например, методом Феррари и с помощью формулы Кардано.

В итоге получается ответ $d\approx 1{,}23119\ldots$.

Суть геометрического решения

Несмотря на то, что данная задача была разрешена алгебраическим методом, не следует забывать что в 8 веке до н.э. такого решения быть не могло,а потому логично предположить что данная задача является задачей на геометрические построения с циркулем и линейкой.

Если продлить меньшую диагональ трапеции до пересечения с прямой, параллельной дну колодца, но исходящей от точки касания стены колодца и большой тростинки, то мы получаем отрезок с длиной равной произведению дна на уменьшенную на один боковую стенку. А это суть номограмма, в которой после задания отрезка единичной длины, можно находить результат произведения, деления и степени числа. Таким образом задача может сводиться к умению пользоваться номограммой для нахождения иррациональных чисел.

См. также

• Математика в Древнем Египте
• Математика

Примечания

1. ↑ Первая публикация была в журнале «Наука и Жизнь» № 1 за 1966 год.

Ссылки

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.