Однородные дифференциальные уравнения

Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений.

1

Обыкновенное уравнение первого порядка $\ y'= f(x,y)$ называется однородным относительно x и y, если функция $\ f(x,y)$ является однородной степени 0:

$\ f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)$.

Однородную функцию можно представить как функцию от $\ y \over x$:

$\ f(x,y)=g\left(1,{y \over x}\right)$.

С помощью подстановки $\ {y \over x} = u$ (так как $\ y=ux; y'=u'x+u$) дифференциальное уравнение $\ y'= f(x,y)$ сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

$\ u'x+u=g(1,u) => {du \over u-g(1,u)} + {dx \over x} = 0$.

2

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение $F(y, y', y'', \ldots) = G(x)$ — однородно, если $G(x)\equiv 0$.

В случае, если $G(x)\neq 0$, говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.

Именно для решения линейных однородных диф. уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.

См. также

• Однородная функция
• Однородное уравнение