Максвеллоподобные гравитационные уравнения

Максвеллоподобные гравитационные уравнения

Максвеллоподобные гравитационные уравнения

В гравитации, Максвеллоподобные гравитационные уравнения составляют систему из четырех уравнений в частных производных, которые описывают свойства электроподобных и магнитоподобных гравитационных полей, а также их источников - зарядовой плотностью и плотностью тока. Эти уравнения используются с целью подтверждения того, что гравитационные волны подобно электромагнитным волнам имеют ту же скорость распространения, равную скорости света.

\nabla \cdot \mathbf{E_G} = -\frac{\rho_G}{\epsilon_G} \
\nabla \times \mathbf{E_G} = -\frac{\partial \mathbf{B_G} }{\partial t } \
\nabla \cdot \mathbf{B_G} = 0 \
\nabla \times \mathbf{B_G} = \mu_G(-\mathbf{J_G} + \epsilon_G\frac{\partial \mathbf{E_G} }{\partial t }), \

где \epsilon_G = \frac{1}{4\pi G} = 1.192708\cdot 10^9 kg/N\cdot m^2 \ гравитоэлектрическая проницаемость (подобно электрической константе); G - гравитационная константа, c - скорость света в вакууме, и \mu_G = \frac{4\pi G}{c^2} = 9.328772\cdot 10^{-27} n\cdot s^2/kg \ гравитомагнитная восприимчивость (подобно магнитной константе). Из первого и четвертого уравнений можно получить волновое уравнение со следующей скоростью распространения волн:

\frac{1}{\sqrt{\mu_G\epsilon_G}} = c = 2.99792458\cdot 10^8 m/s \ .

Гравитационный характеристический импеданс свободного пространства может быть определен как:

\sqrt{\frac{\mu_G}{\epsilon_G}} = \rho_{G0} = \frac{4\pi G}{c} = 2\alpha \cdot \frac{h}{m_{\alpha}^2} = 2.796696\cdot 10^{-18} m^2/s\cdot kg. \

Также как и в электродинамике, характеристический импеданс играет доминирующую роль во всех процессах излучения и поглощения, подобно тому как согласовывается входной импеданс гравитационной антенны и импеданс свободного пространства. Численное значение этого импеданса очень мало и поэтому очень трудно сделать приемники гравитационного излучения с соответствующим согласованием импедансов.

Содержание

История

Согласно Макдональду[1] первым, кто использовал уравнения Максвелла при описании гравитации был Оливер Хевисайд[2] Дело в том, что при слабом гравитационном поле стандартная теория гравитации может быть сведена к простым уравнениям типа Максвелла [3] Очевидно, что в 19-м столетии не было системы СИ, и поэтому первым упоминанием об гравидинамических константах возможно относится к Форварду (1961) [4] В 80-е годы максвеллоподобные гравитационные уравнениябыли использованы в монографии Валда по общей теории относительности [5] В 90-е годы этот подход использовал Саббата [6] [7], а сегодня Раймонд Чиао [8] [9] [10] [11], который разработал ряд путей по экспериментальному определению гравитационных волн используя холловские жидкости электронов при низких температурах.

Применения

Волновое уравнение

Гравитационные волновые уравнения являются уравнениями второго порядка в частных производных, которые описывают распространение гравитационных волн в свободном пространстве. В случае отсутствия зарядов и токов мы получаем однородные дифференциальные уравнения типа:

 - { 1 \over {c}^2 } {\partial^2 \over \partial t^2} \bigg) \mathbf{E_G} \ \ = \ \ 0
 - { 1 \over {c}^2 } {\partial^2 \over \partial t^2} \bigg) \mathbf{B_G} \ \ = \ \ 0,

где \mathbf{E_G} - градиентное гравитационное поле, а \mathbf{B_G} - роторное гравитационное поле.

Общее решение гравитационного волнового уравнения является суперпозицией следующих волн:

 \mathbf{E_G}( \mathbf{r}, t )  =  g(\phi( \mathbf{r}, t ))  =  g( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}   )

и

 \mathbf{B_G}( \mathbf{r}, t )  =  g(\phi( \mathbf{r}, t ))  =  g( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}   )

для произвольной хорошо ведущей себя функции g безразмерного аргумента φ / , где

 \ \omega - угловая частота (в радианах за секунду), и
 \mathbf{k} = ( k_x, k_y, k_z) - волновой вектор (в радианах на метр).

Учитывая следующие соотношения между индукциями и напряженностями полей в форме:

\mathbf{B_G} = \mu_G\mathbf{H} \
\mathbf{D_G} = \epsilon_G\mathbf{E_G} \ ,

можно получить следующие взаимные соответствия между градиентными и роторными гравитационными напряженностями:

\sqrt{\mu_G}\mathbf{H_G} = \sqrt{\epsilon_G}\mathbf{E_G} \ .

Это уравнение определяет волновой импеданс в стандартном виде:

\rho_G = \sqrt{\frac{\mu_G}{\epsilon_G}} = \frac{E_G}{H_G} \ .

LC контур

Гравитационное напряжение на гравитационной индуктивности:

V_{GL} = -L_G\cdot \frac{d I_{GL}}{d t}. \

Гравитационный ток через гравитационную емкость:

I_{GL} = C_G\cdot \frac{d V_{GL}}{d t}. \

Дифференцируя эти выражения по временной переменной, можно получить:

\frac{d V_{GL}}{d t} = -L_G\frac{d^2I_{GL}}{dt^2} \
\frac{d I_{GL}}{d t} = C_G\frac{d^2V_{GL}}{dt^2}. \

Учитывая следующие соотношения для амплитуд «напряжений» и «токов»:

V_{GL} = V_{GC};  I_{GL} = I_{GC} \

можно получить следующее дифференциальное уравнение для гравитационных осцилляций:

\frac{d^2 I_G}{dt^2} + \frac{1}{L_GC_G}I_G = 0. \

Более того, учитывая следующие взаимосвязи между «напряжениями» и «зарядами»:

q_G = C_GV_G \

а также «токами» и «магнитными потоками»:

\phi_G = L_GI_G \

уравнение осцилляций может быть переписано в зарядовой форме:

\frac{d^2 q_G}{dt^2} + \frac{1}{L_GC_G}q_G = 0. \

Это уравнение имеет частное решение:

q_G(t) = A_0 Sin (\omega_{LC}t) \

где

\omega_{LC} = \frac{1}{\sqrt{L_GC_G}} \

является резонансной частотой, а

\rho_{LC} = \sqrt{\frac{L_G}{C_G}} \

- гравитационным характеристическим импедансом.

Следует помнить, что в общем случае гравитационный заряд(q_G \ ) имеет ту же размерность величины, что и гравитационная масса (m_G \ ).

Смотри также


Ссылки

  1. K.T. McDonald, Am. J. Phys. 65, 7 (1997) 591-2.
  2. O. Heaviside, Electromagnetic Theory (”The Electrician” Printing and Publishing Co., London, 1894) pp. 455-465.
  3. W. K. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism (Addison-Wesley, Reading, MA, 1955), p. 168, 166.
  4. R. L. Forward, Proc. IRE 49, 892 (1961).
  5. R. M. Wald, General Relativity (University of Chicago Press, Chicago, 1984).
  6. V. de Sabbata and M. Gasperini, Introduction to Gravitation (World Scientific, Singapore,1985).
  7. V. de Sabbata and C.Sivaram, Spin and Torsion in Gravitation (World Scientific, Singapore,1994)
  8. Raymond Y. Chiao. "Conceptual tensions between quantum mechanics and general relativity: Are there experimental consequences, e.g., superconducting transducers between electromagnetic and gravitational radiation?" arXiv:gr-qc/0208024v3 (2002).
  9. R.Y. Chiao and W.J. Fitelson. Time and matter in the interaction between gravity and quantum fluids: are there macroscopic quantum transducers between gravitational and electromagnetic waves? In Proceedings of the “Time & Matter Conference” (2002 August 11-17; Venice, Italy), ed. I. Bigi and M. Faessler (Singapore: World Scientific, 2006), p. 85. arXiv: gr-qc/0303089.
  10. R.Y. Chiao. Conceptual tensions between quantum mechanics and general relativity: are there experimental consequences? In Science and Ultimate Reality, ed. J.D. Barrow, P.C.W. Davies, and C.L.Harper, Jr. (Cambridge: Cambridge University Press, 2004), p. 254. arXiv:gr-qc/0303100.
  11. Raymond Y. Chiao. "New directions for gravitational wave physics via “Millikan oil drops” arXiv:gr-qc/0610146v16 (2007).PDF</

Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Максвеллоподобные гравитационные уравнения" в других словарях:

  • Самосогласованные гравитационные константы — полный комплект фундаментальных констант гравидинамики, которые являются самосогласованными и определяют различные физические величины (а также их размерность), и поэтому – результирующую форму Максвеллоподобных гравитационных уравнений).… …   Википедия

  • Планковская масса — Масса Планка  единица массы в планковской системе, обозначается . Частица с такой массой имеет одинаковые радиус Шварцшильда и комптоновскую длину волны ≈ 1,2209·1019 ГэВ/c² = 2,176·10−5 г. На 2010 год рекомендованное международным… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»