Кратный интеграл Римана

Примечание: всюду в данной статье, где используется знак $\int$ имеется в виду (кратный) интеграл Римана $\left(R\right)\int$, если не оговорено обратное;
всюду в данной статье, где говорится об измеримости множества, имеется в виду измеримость по Жордану, если не оговорено обратное.

Определение

Пусть $A$ - измеримое (по Жордану) множество. Разбиение $T$ множества $A$ - это любой набор $\left\{A_i\right\}_{i=1}^m$ измеримых множеств, пересекающихся лишь по границам и $\bigcup_1^m A_i=A$. Выберем точки $\xi_i\in A_i,\ i=1,\ldots,m,\ \xi=\left\{\xi_i\right\}_{i=1}^m$ - получили $(T,\xi)=\left\{A_i,\xi_i\right\}_{i=1}^m$ - разбиение с отмеченными точками.

Пусть функция $f$ определена на $A$, тогда интегральной суммой называется $\sigma(f,T,\xi)=\sum_{k=1}^m f(\xi_k)\mu A_k$.

Функция $f$ интегрируема по Риману в кратном смысле на $A$ и $I$ - её интеграл, если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$: для любого отмеченного разбиения $(T,\xi)$ с $\xi_i\in{}A_i$ и диаметром $dAi=\sup\limits_{x,\,y\in A_i} \rho(x,y)<\delta$ выполняется неравенство $\left|\sigma(f,T,\xi)-I\right|<\varepsilon$. Обозначается интеграл от функции $f$ на измеримом множестве $A$: $\int\limits_A f\,d\vec x$.

Некоторые свойства кратного интеграла Римана

1. Если функция $f$ интегрируема по Риману на измеримом множестве $A$, то $\exists\delta>0$, что функция $f$ ограничена на множестве $A_\delta=\left\{x\in A:\ \rho(x,\mbox{int}A)<\delta\right\}$, где $\mbox{int}A$ - внутренность $A$. (См. Связь интегрируемости по Риману и ограниченности).
2. Если функция $f$ интегрируема по Риману на измеримом множестве $A$, функция $g$ определена на $A$ и $g(x)=f(x)$ на $A_\delta$ для некоторого $\delta>0$, то $g$ интегрируема по Риману на $A$ и $\int\limits_A g\,d\vec x=\int\limits_A f\,d\vec x$.
3. Линейность. Если $f\in R(A)$ (ограничена и интегрируема по Риману на $A$), то $\forall\alpha\in\mathbb{R}$ функция $\alpha{}f\in R(A)$ и $\int\limits_A \alpha f\,d\vec x=\alpha\int\limits_A f\,d\vec x$. Если $f,g\in R(A)$, то $f\pm g\in R(A)$ и $\int\limits_A (f\pm g)\,d\vec x=\int\limits_A f\,d\vec x + \int\limits_A g\,d\vec x$. Следует из свойств интеграла как предела по базе.
4. Аддитивность по множествам. Если $f\in R(A)$ и $f\in R(B)$, то $f\in R(A\cup B)$ и, если $\mu(A\cap B)=0$, то $\int\limits_{A\cup B} f\,d\vec x=\int\limits_A f\,d\vec x+\int\limits_B f\,d\vec x$. Первая часть следует из критерия Лебега.
5. Интегрируемость по подмножеству. Если $f\in R(A)$, $B$ - измеримое по Жордану подмножество $A$, то $f\in R(B)$. Следует из критерия Лебега.
6. Если $f,g\in R(A)$, то $f*g\in R(A)$. Следует из критерия Лебега.
7. Если $f\in R(A)$, функция $\varphi$ непрерывна на отрезке $[\alpha,\beta]\supset f(A)\Rightarrow\varphi(f)\in R(A)$. Следует из критерия Лебега.
8. Если $f\in R(A)$, и $f$ изменить на множестве $B\subset A,\ \mu B=0$, то измененная функция $\tilde f$, при условии её ограниченности на $A$, также интегрируема по Риману на $A$ и $\int\limits_A \tilde f\,d\vec x=\int\limits_A f\,d\vec x$.
9. Если $f,g\in R(A)$ и $f(x)\leqslant g(x)$ на $A$, то $\int\limits_A f\,d\vec x\leqslant\int\limits_A g\,d\vec x$. Следует из свойств интеграла как предела по базе.
10. Если $f\in R(A)$, то $\left|f\right|\in R(A)$ и $\left|\int\limits_A f\,d\vec x\right|\leqslant\int\limits_A \left|f\right|\,d\vec x$.
11. Если $f\in R(A)$, $f(x)\geqslant 0$ на $A$ и $f(x_0)>0,\ x_0$ - внутренняя точка $A$ и точка непрерывности $f$, то $\int\limits_A f\,d\vec x>0$.

Теоремы

• Критерий интегрируемости Дарбу.

Основная статья: Критерий Дарбу

Ограниченная функция $f$ на измеримом множестве $A$ интегрируема по Риману $\Leftrightarrow\ I_*(f)=I^*(f)$, и в случае равенства: $I_*(f)=I^*(f)=\int\limits_A f\,d\vec x$, где $I_*$ и $I^*$ - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу.

• Критерий интегрируемости Лебега.

Ограниченная $f$ на измеримом множестве $A$ интегрируема по Риману $\Leftrightarrow\ f$ непрерывна почти всюду на $A$.

• Теоремы о связи интеграла Римана и меры Жордана.
  • Теорема 1. Пусть $A$ - измеримое множество в $\mathbb{R}^n,\ E\subset A$. Тогда измеримость по Жордану множества $E\ \Leftrightarrow$ характеристическая функция $\chi_E$ интегрируема по Риману на $A$, и в случае измеримости $E$ выполняется равенство: $\mu E=\int\limits_A \chi_E\,d\vec x$.
  • Теорема 2. Пусть $A$ - измеримое множество в $\mathbb{R}^n$, функция $f(\vec x)\geqslant 0$ на $A$. Пусть множество $A_f=\left\{(\vec x,y)\in\mathbb{R}^{n+1}:\ \vec x\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f(\vec x)\right\}$. Тогда интегрируемость по Риману ограниченной функции $f$ на множестве $A\ \Leftrightarrow$ множество $A_f$ измеримо по Жордану в $\mathbb{R}^{n+1}$. При этом в случае измеримости $A_f$ выполняется равенство: $\mu^{n+1}A_f=\int\limits_A\,f d\vec x$.
  • Следствие. Ограниченная на измеримом множестве $A\subset\mathbb{R}^n$ функция $f$ интегрируема по Риману на $A\ \Leftrightarrow$ множества $A_f^+=\left\{(\vec x,y)\in\mathbb{R}^{n+1}:\ \vec x\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f(\vec x)\right\}$ и $A_f^-=\left\{(\vec x,y)\in\mathbb{R}^{n+1}:\ \vec x\in A,\ f(\vec x)\leqslant y\leqslant 0\right\}$ измеримы по Жордану в $\mathbb{R}^{n+1}$. И в случае их измеримости выполняется равенство: $\int\limits_A f\,d\vec x=\mu^{(n+1)}A_f^+-\mu^{(n+1)}A_f^-$.
• Теоремы о сведении кратных интегралов Римана в повторным.
  • Теорема. Пусть функция $f\in R(\Pi)$, где $\Pi$ - брус, являющийся произведением промежутков: $\Pi=\prod_{k=1}^n[a_k,b_k]\subset\mathbb{R}^n$. Пусть $1\leqslant m<n$, для каждого $\vec\xi\in\Pi^{''}=\prod_{k=m+1}^n [a_k,b_k]\subset\mathbb{R}^{n-m}$, обозначим через $I_*(\vec\xi)$ и $I^*(\vec\xi)$ нижний и верхний интегралы Дарбу от $f(\vec x\,',\vec\xi)$ по $\vec\xi\,'\in\mathbb{R}^m$ на $\Pi^'=\prod_{k=1}^m [a_k,b_k]\subset\mathbb{R}^m$. Тогда $I_*(\vec\xi)$ и $I^*(\vec\xi)$ интегрируемы по Риману на $\Pi^{''}$ и $\int\limits_{\Pi^{''}}I_*(\vec\xi)\,d\vec\xi=\int\limits_{\Pi^{''}}I^*(\vec\xi)\,d\vec\xi=\int\limits_\Pi f(\vec x)\,d\vec x$.
  • Следствие 1. Пусть $f\in R(\Pi)$, где $\Pi$ - брус, являющийся произведением промежутков: $\Pi=\prod_{k=1}^n[a_k,b_k]\subset\mathbb{R}^n,\ 1\leqslant m<n.\ \Pi^{''}=\prod_{k=m+1}^n[a_k,b_k]$. Пусть $I(\vec x\,''),\ \vec x\,''\in\Pi^{''}$, такая функция на $\Pi^{''}$, что $I_*(\vec x\,'')\leqslant I(\vec x\,'')\leqslant I^*(\vec x\,'')\leqslant$, где $I_*(\vec x\,'')$ и $I^*(\vec x\,'')$ - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу от $f(\vec x\,',\vec x\,'')$ при фиксированном $\vec x\,''$ по $\vec x\,'$ на $\Pi^'=\prod_{k=1}^m [a_k,b_k]$. Тогда функция $I(\vec x\,'')$ интегрируема по Риману на $\Pi^{''}$ и $\int\limits_{\Pi^{''}} I(\vec x\,')\,d\vec x\,''=\int\limits_\Pi f(\vec x)\,d\vec x$.
  • Следствие 2. Пусть $f\in R(\Pi)$, где $\Pi$ - брус, являющийся произведением промежутков: $\Pi=\prod_{k=1}^n[a_k,b_k]\subset\mathbb{R}^n,\ 1\leqslant m<n$. Если $\forall\vec x\,''\in\Pi^{''}=\prod_{k=m+1}^n[a_k,b_k]\subset\mathbb{R}^{n-m}$, функция $f(\vec x\,',\vec x\,'')$ интегрируема по Риману на $\Pi^'=\prod_{k=1}^m [a_k,b_k]\subset\mathbb{R}^m$, то её интеграл $\int\limits_{\Pi^'}f(\vec x\,',\vec x\,'')\,d\vec x\,'$ интегрируем по Риману на $\Pi^{''}$ и $\int\limits_{\Pi^{''}}{\int\limits_{\Pi^'}f(\vec x\,',\vec x\,'')\,d\vec x\,'}\,d\vec x\,''=\int\limits_\Pi f(\vec x)\,d\vec x$
  • Следствие 3. Пусть $f\in R(A)$. Обозначим через $A^{''}$ - проекцию множества $A$ на $\mathbb{R}^{n-m},\ A^{''}=\left\{\vec x\,''\in\mathbb{R}^{n-m}:\ \exists\vec x\,'\in\mathbb{R}^m,\right.$ что $\left.(\vec x\,',\vec x\,'')\in A\right\},\ 1\leqslant m<n$. Для $\vec x\,''\in A$ обозначим через $A^'$ - сечение множества $A,\ A^'(\vec x\,''=\left\{\vec x\,'\in\mathbb{R}^m:\ (\vec x\,',\vec x\,'')\in A\right\}$. Предположим, что $A^{''}$ и все $A^'$ - измеримые по Жордану множества в $\mathbb{R}^{n-m}$ и $\mathbb{R}^m$ соответственно, причём для каждого $\vec x\,''\in A^{''}$ функция $f(\vec x\,',\vec x\,'')\in R(A^'(\vec x\,''))$. Тогда $\int\limits_{A^'(\vec x\,'')}f(\vec x\,',\vec x\,'')\,d\vec x\,'$ интегрируем на $A^{''}$ и $\int\limits_{A^{''}}{\int\limits_{A^'(\vec x\,'')}f(\vec x\,',\vec x\,'')\,d\vec x\,'}\,d\vec x\,''=\int\limits_A f(\vec x)\,d\vec x$.

См. также

• Кратный интеграл
• Несобственный кратный интеграл Римана
• Одномерный интеграл Римана
• Интеграл Римана — Стилтьеса
• Интеграл Лебега
• Интеграл Мак-Шейна
• Интеграл Курцвейля-Хенстока
• Теорема Фубини
• Формула Ньютона — Лейбница
• Список интегралов
• Интеграл Даниэля

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Добавить иллюстрации. Исправить зацикленные ссылки (в этой статье имеются ссылки на неё же посредством перенаправления).