Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

В этой статье отсутствует вступление. Пожалуйста, допишите вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи.

Случай известной дисперсии

Пусть $X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\sigma^2$ — известная дисперсия. Определим произвольное $\alpha \in [0,1]$ и построим доверительный интервал для неизвестного среднего $\mu$.

Утверждение. Случайная величина

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

имеет стандартное нормальное распределение $\mathrm{N}(0,1)$. Пусть $z_{\alpha}$ — $\alpha$-квантиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

$\mathbb{P}\left(-z_{\frac{1-\alpha}{2}} \le Z \le z_{\frac{1-\alpha}{2}}\right) = \alpha$.

После подстановки выражения для $Z$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb{P}\left( \bar{X} - z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{\frac{1-\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = \alpha$.

Случай неизвестной дисперсии

Пусть $X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu,\sigma^2$ — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего $\mu$.

Утверждение. Случайная величина

$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$,

где $S$ — несмещённое выборочное стандартное отклонение, имеет распределение Стьюдента с $n-1$ степенями свободы $\mathrm{t}(n-1)$. Пусть $t_{\alpha,n-1}$ — $\alpha$-квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

$\mathbb{P}\left(-t_{\frac{1-\alpha}{2},n-1} \le T \le t_{\frac{1-\alpha}{2},n-1}\right) =\alpha$.

После подстановки выражения для $T$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb{P}\left( \bar{X} - t_{\frac{1-\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + t_{\frac{1-\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}\right) = \alpha$.

Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.