Полуопределённая форма

Полуопределённая форма ― квадратичная форма над упорядоченным полем, представляющая либо только неотрицательные, либо только неположительные элементы поля. В первом случае квадратичная форма называется неотрицательной, во втором ― неположительной квадратичной формой.

Чаще всего полуопределённые формы рассматриваются над полем вещественных чисел.

Над полем комплексных чисел аналогично определяются полуопределенные (неотрицательные и неположительные) эрмитовы квадратичные формы.

Если $b$ ― симметрическая билинейная или эрмитова форма, причем $q(x) = b(x, x)$ является полуопределённой формой, то и форму $b$ также иногда называют полуопределенной (неотрицательной или неположительной).

Свойства

Если $q$ ― квадратичная или эрмитова полуопределённая форма в векторном пространстве $V$, то

$N=\{x\in V|q(x)=0\}$

является подпространством, совпадающим с ядром формы $q$, причем на $V/N$ естественным образом индуцируется положительно определенная или отрицательно определенная форма.