Полуопределенная форма

Полуопределённая форма ― квадратичная форма над упорядоченным полем, представляющая либо только неотрицательные, либо только неположительные элементы поля. В первом случае квадратичная форма называется неотрицательной, во втором ― неположительной квадратичной формой.

Чаще всего полуопределённые формы рассматриваются над полем вещественных чисел.

Над полем комплексных чисел аналогично определяются полуопределенные (неотрицательные и неположительные) эрмитовы квадратичные формы.

Если b ― симметрическая билинейная или эрмитова форма, причем q(x) = b(x,x) является полуопределённой формой, то и форму b также иногда называют полуопределенной (неотрицательной или неположительной).

Свойства

Если q ― квадратичная или эрмитова полуопределённая форма в векторном пространстве V, то

$N=\{x\in V|q(x)=0\}$

является подпространством, совпадающим с ядром формы q, причем на V / N естественным образом индуцируется положительно определенная пли отрицательно определенная форма.