Интегральный косинус

График интегрального косинуса для 0 < x ≤ 8π.

Интегра́льный ко́синус — специальная функция, определяемая интегралом^[1]

$\operatorname{Ci}(x) = -\int\limits_x^\infty\frac{\cos t}{t}dt$

или:

$\gamma + \ln x + \int\limits_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.

Иногда используются другие определения:

$\operatorname{Ci}(x) = \int\limits_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt$

$\operatorname{Cin}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Ci}(x).$

Также возможно определение интегрального косинуса через интегральную показательную функцию по аналогии с обычным косинусом^[2]:

$\operatorname{Ci}(x) = \frac{1}{2} \left( \operatorname{Ei}(ix) + \operatorname{Ei}(-ix) \right)$

Интегральный косинус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.

Свойства

• Интегральный косинус может быть представлен в виде ряда:

$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x - \frac{x^2}{2 \cdot 2!} + \frac{x^4}{4 \cdot 4!} - \frac{x^6}{6 \cdot 6!} + \cdots = \gamma + \ln x + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!(2n)}$

См. также

• Интегральный синус
• Интегральная показательная функция
• Интегральный логарифм

Примечания

1. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. // М.: Наука, 1968. - с. 625
2. ↑ Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентые функции, т.2 // М.: Наука, 1974. - с. 149

Литература

• Математический энциклопедический словарь, М. 1995, с. 238
• Weisstein, Eric W. Cosine Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.